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デルタ関数について次を示せ

1) tδ(t)=0
2) δ(t^2-a^2)={δ(t-a)+δ(t+a)}/(2|a|)

この二つが全くわからなくて困っています。
分かる方いましたら教えてください。
お願いします。

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A 回答 (6件)

> ネットでデルタ関数で調べたらδ(at)=δ(t)/|a|になるとか書いてました。


> が正直な話なぜこれが成り立つのかわかりません。

任意の f(t) に対して,a>0 として
(8)  ∫{-∞~∞} δ(at)f(t) dt = ∫{-∞~∞} δ(y) f(y/a) (dy/a) = f(0)/a
ただし,y = at とした.
a<0 なら
(9)  ∫{-∞~∞} δ(at)f(t) dt = ∫{∞~-∞} δ(y) f(y/a) (dy/a) = -f(0)/a
ここでも,y = at とした.
(8)(9)合わせて
(10)  ∫{-∞~∞} δ(at)f(t) dt = f(0)/|a|
一方,
(11)  ∫{-∞~∞} {δ(t)/|a|} f(t) dt = f(0)/|a|
したがって,
(12)  δ(at) = δ(t)/|a|

> あの、"おとなしい"とはどういうことなんでしょうか?
> 先に言っていたf(t)と同じような関数と思えばいいのですか?
そうです.
f(t) と書くと混乱するかと思ったので,別の関数記号にしたまでです.
先に「発散するとまずい」と書きましたが,
本当は可積分なら発散しても構わないんです(と思う).

> (2)(3)からt(t)=0とどうして解釈できるのでしょうか?
デルタ関数は「おとなしい関数」に掛けて積分したときのみ意味があります.
したがって,任意の「おとなしい関数」に対して等しい結果をもたらすので,
tδ(t) = 0 とするのです.
そもそも「恒等的に等しい」というのはそういう意味です.
例えば,sin^2θ = 1 - cos^2θは任意の実数θについて(簡単のため実数にしておきます)
いつでも左辺を計算した結果と右辺を計算した結果が等しくなる,ということです.

> (t-a)や(t+a)の部分だけ -2a or 2a と置くがどうして可能なのですか?
t-a がゼロかどうかが問題(というか,ゼロのときしか効かない)ですから,
t+a という因子は 2a としても同じことです.
どうしても納得できないのなら,次のようにしますか.
y = t^2 - a^2 とおいて,
(13)  t^2 = y + a^2  ⇒  2t dt = dy
から
(14)  dt = dy/2√(y+a^2)   (t>0)
(15)  dt = - dy/2√(y+a^2)  (t<0)
したがって,
(16)  ∫{0~∞} δ(t^2 - a^2) g(t) dt
    = ∫{-a^2~∞} δ(y) g(√(y+a^2)) dy/2√(y+a^2)
    = g(a)/2a
もう片方の部分(t が負の部分)についてもほぼ同様.
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この回答へのお礼

やっとわかりました。
丁寧な解説どうもありがとうございました。

お礼日時:2002/12/01 09:48

[デルタ関数は ∫(-∞~∞)f(t)δ(t-a)dt=f(a)


となるδですよね? ]
#5のsiegmund先生の回答がありますので、
勉強の参考まで
DIRACのデルタ関数の定義は、
δ(t)=0 t≠0
δ(0)=+∞
∫(-∞~∞)δ(t)dt=1
または、No.2:siegmund先生回答にある、
以下の積分をを満たすものがδ関数です。
∫{-∞~∞} δ(t) f(t) dt = f(0) ・・(A)
質問者の公式(1)(2)は
式(A)の中に現れた場合のみ成立すると説明されているのです。
参考URL:http://www-nuclth.phys.sci.osaka-u.ac.jp/users/e …
     {講義ノート 積分変換と Dirac のデルタ関数(PDFファイル)}  

参考にしてがんばってくださいね。
以上
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この回答へのお礼

なんとか問題を解決することができました。
教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2002/12/01 09:54

[あの、"おとなしい"とはどういうことなんでしょうか?


先に言っていたf(t)と同じような関数と思えばいいのですか? ]
mmkyさんから、
siegmund先生がおっしゃっているおとなしいとは、#3の説明例のなかで、
g(t)がむくむくと数字を出し始めたとたんf(t)が突如として無限大になるというような、そのようなじゃじゃ馬のような関数では成り立たないということです。おとなしくゼロにむかっているような関数ということです。
(t)はおとなしい関数でしょ。
追伸まで
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[問題はt=0のときどうなるかなんですよ。


t=0のときはt=0,δ(0)=∞
ですよね?
このときはなぜ"0"と言えるのでしょうか? ]

ということですね。t*δ(t)というのは2つの関数の掛け算という風に
考えるのです。t*δ(t)≡f(t)*g(t)
この二つの関数の数値を考えながら、二つの関数の共通変数tをどんどん
小さくしていくのです。これをt→0 と書きます。
このとき二つの関数f(t)とg(t)の数値を考えてみるのです。関数f(t)は
どんどんゼロに近づきます(限りなく小さくなっていきます。
ところが、g(t)はまだ0のままです。それでも関数f(t)は小さくなり
10のマイナス20乗になりました。そのころですやわらg(t)がむくむくと
数字を出し始めました。と考えるのです。この二つの関数の掛け算は
f(t)のほうが早くゼロになるのでゼロというのです。そういう考えです。

なぜ2点間の距離2|a|でわっているんですか?
ただ±aに電荷があると考えると δ(t^2-a^2)={δ(t-a)+δ(t+a)}
でいいと思うんですが。
「これ重要だったですね。書いていませんでしたね。
#2のsiegmund先生の回答にもありますが、」

考え方はその通りですが、δ関数は定義が積分表示のために原点からa離れた場合は、積分したときに長さaが掛かってしまうので、あらかじめ|a|で割って置くのです。これも知っておかないといけない考え方ですね。


数学と物理の整合性の問題でそのように定義しているのです。
電荷が1個、座標0からプラスa離れた点に置かれているとしますと
指摘されているように数学的にはa点に[*1]ですからこれを積分表示
しようとすると、(0~a)∫[*1]dx=a*[*1] で0-a の長さが掛かりますね。
電荷は1個なのでa個ではないですね。モーメントを表しているのでもないですよ。ということで、原点から離れた時は距離|a|で割っておくのです。
でも電荷は原点(0)からa離れたところにあるという意味でδ(x-a)と書くのです。

考え方の補足まで

この回答への補足

デルタ関数は
∫(-∞~∞)f(t)δ(t-a)dt=f(a)
となるδですよね?
この式からは|a|の距離が掛かっているように思えないんですが
どういうことなのでしょうか?

補足日時:2002/11/29 20:44
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物理屋の siegmund です.


デルタ関数の話をきちんとやるのは超関数としての扱いが必要ですが,
それは私の手に余ります.
物理数学のような科目でやるのだったら,以下のようなことでOKでしょう.

まず,デルタ関数はおとなしい(無限大になる点があったりするとまずい)
関数 f(t) に掛けて積分したときのみ意味を持つと思ってください.
デルタ関数の最も顕著な特徴は
(1)  ∫{-∞~∞} δ(t) f(t) dt = f(0)
です.
積分区間は別に -∞~∞ である必要はなくデルタ関数の中身がゼロになる点が
含まれていれば十分です.
他に,δのところが δ(at) になっていたり,δ(at-b) になっていたり
したときの話はご存知ですよね.

任意のおとなしい g(t) に対して
(2)  ∫{-∞~∞} t δ(t) g(t) dt = 0×g(0) = 0
が成り立ちます.
t g(t) を(1)の f(t) とみなせばよいわけです.
また
(3)  ∫{-∞~∞} 0×g(t) dt = 0
(2)(3)が任意の g(t) について成立するから,
(4)  t δ(t) = 0
と解釈する,というわけです.

簡単のため,a>0 としておきます.
デルタ関数の中身がゼロになるのは t=±a ですので,
(5)  ∫{-∞~∞} δ(t^2 - a^2) g(t) dt
    = ∫{-∞~0} δ(t^2 - a^2) g(t) dt + ∫{0~∞} δ(t^2 - a^2) g(t) dt
と分けておきます
t^2 -a^2 = (t+a)(t-a) ですが,(5)の右辺第1項での積分で効くのは t=-a のところ
だけですから,t-a という因子は -2a と置いても構いません.
同様に,第2項では t+a を 2a と置けます.
すなわち,
(6)   (5) = ∫{-∞~0} δ(2a(t+a)) g(t) dt + ∫{0~∞} δ(-2a(t-a)) g(t) dt
       = g(-a)/2a + g(a)/2a
これが g(t) に {δ(t-a)+δ(t+a)}/(2a) をかけて積分した結果と等しいことは
すぐにわかるでしょう.
というわけで,
(7)  δ(t^2-a^2)={δ(t-a)+δ(t+a)}/(2a)   (ただし a>0)
が言えます.
a<0 のときもほとんど平行に議論できますね.

この回答への補足

>δのところが δ(at) になっていたり,δ(at-b) になっていたり
したときの話はご存知ですよね

ネットでデルタ関数で調べたらδ(at)=δ(t)/|a|になるとか書いてました。
が正直な話なぜこれが成り立つのかわかりません。
これがわかっていたら上の問題も解けたかもと思っているのですが違いますか?

>任意のおとなしい g(t) に対して
>(2)  ∫{-∞~∞} t δ(t) g(t) dt = 0×g(0) = 0

あの、"おとなしい"とはどういうことなんでしょうか?
先に言っていたf(t)と同じような関数と思えばいいのですか?

>3)  ∫{-∞~∞} 0×g(t) dt = 0
>(2)(3)が任意の g(t) について成立するから,
>(4)  t δ(t) = 0
>と解釈する

(2)(3)からt(t)=0とどうして解釈できるのでしょうか?
鈍くてすみません。

>(6)   (5) = ∫{-∞~0} δ(2a(t+a)) g(t) dt + ∫{0~∞} δ(-2a(t-a)) g(t) dt
       = g(-a)/2a + g(a)/2a

(t-a)や(t+a)の部分だけ -2a or 2a と置くがどうして可能なのですか?
それさえわかればあとは理解できると思います。

補足日時:2002/11/29 10:48
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この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
あと少し(?)なので
よろしくお願いします。

お礼日時:2002/11/29 11:10

[デルタ関数について次を示せ ]



物理で使う、DIRACの関数(デルタ関数)ということですね。
DIRACのデルタ関数の定義は
δ(t)=0 t≠0
δ(0)=+∞
∬・・∫δ(t)dt=1
ですから。
註:つまり平面を無限に細いあつみのない針が通り抜けていると考えてください。
針のあるところ以外はすべて0、これがδ(t)=0 ,t≠0 の意味するところ。
t=0, に針があるのでδ(0)=+∞、全面積を台に積分したら針の量(電荷の量で使いますね。)は[1]ということ。それを表現しているのです。(考え方ですよ。)
だから
1) tδ(t)=0 :定義から δ(t)=0, t≠0 故
2) δ(t^2-a^2)={δ(t-a)+δ(t+a)}/(2|a|)
±a点に電荷[1]が2個あるという意味だから、δ(t-a)+δ(t+a) /|2a|
|2a|は2点間の距離ということですね。
あまり数学的ではありませんね。物理ですね。

違いがあればご指摘くださいね。
参考まで

この回答への補足

>tδ(t)=0 :定義から δ(t)=0, t≠0 故

問題はt=0のときどうなるかなんですよ。
t=0のときはt=0,δ(0)=∞
ですよね?
このときはなぜ"0"と言えるのでしょうか?
数学の課題ですのでその辺もしっかり言っておかないといけないと思うので。

>δ(t^2-a^2)={δ(t-a)+δ(t+a)}/(2|a|)

なぜ2点間の距離2|a|でわっているんですか?
ただ±aに電荷があると考えると
δ(t^2-a^2)={δ(t-a)+δ(t+a)}
でいいと思うんですが。

補足日時:2002/11/29 10:36
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
もう少しお付き合いください。
よろしくお願いします。

お礼日時:2002/11/29 11:09

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よろしくお願いします!

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ベクトルを表すために
r↑ = (x,y,z)
みたいな表記を使います.

1.
極座標(r,θ,φ)を用いると
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

∫[S] f↑・dS↑ = ∫[S] f↑・n↑ dS

なのですが,S上で
f↑・n↑
= f↑・r↑/r
= (-2x^2 + 2y^2 + z^2)/r
= (-2r^2 sin^2 θ cos^2 φ + 2r^2 sin^2 θ sin^2 φ + r^2 cos^2 θ)/r
= (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)r.

また,
dS = r^2 sin θ dθ dφ.
積分範囲はz ≧ 0なので,θは0からπ/2の値をとりうる.

以上より
∫[S] f↑・dS↑
= ∫[S] f↑・n↑ dS
= r^3 ∫[0,π/2] dθ ∫[0,2π] dφ (-2sin^2 θ cos 2φ + cos^2 θ)
= 2π r^3 /3
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2.
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ガウスの発散定理より

∫[E] f↑・dS↑
= ∫[V] div f↑ dV
= ∫[V] 5 dV
= 18π×5
= 90π.

で,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ - ∫[底面] f↑・dS↑
なのですが,底面での単位法線ベクトルは明らかにz軸に平行であるのに対し,
底面においてz = 0ですから,f↑は底面において f↑ = (2x,2y,0)となり
z軸に対して垂直です.
すなわち,底面においてf↑とn↑とは垂直なのです:
f↑・n↑ = 0.

したがって
∫[底面] f↑・dS↑ = ∫[底面] f↑・n↑ dS = 0
であり,求める積分は
∫[S] f↑・dS↑ = ∫[E] f↑・dS↑ = 90π.

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z = r cos θ
であり,S上でrは一定値 r = 3 です.

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これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

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∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


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・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

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■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
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を使えばいい事とどのようにして知る得るのでしょうか?

こんにちは。

[問]f(x)=x^2(x∈[-π,π])のフーリエ級数を求め,それを使ってΣ[n=1..∞]1/n^4=π^4/90を示せ。
[解]
f(x)(=x^2)π^2/3+4Σ[k=1..∞](-1)^kcos(kx)/k^2=π^2/3-4cosx+cos(2x)-4/9cos(3x)+…
これを正規直交関数{u_k(x)}={1/√2,cosx/√π,sinx/√π,cos(2x)/√π,sin(2x)/√π,…}を使って書き直すと
1/√(2π)・√(2π)・π^2/3+cosx/√π(-4√π)+sinx/√x・0+cos(2x)/√π・1+sin(2x)/√π・0+cos(3x)/√π・(-4√π/9)+… …(1)
従って,a_0=√(2π)/3,a_1=-4√π,a_4=0,a_5=-4√π/9,…
従って(1)は
Σ[k=0..∞]a_k^2=a_0^2+a_1^2+a_3^2+...続きを読む

Aベストアンサー

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序をいじってみるとか、漸化式にならないかとか、余分な項を入れてみるとか、変数変換してみるとか、もっと一般化してみるとか、何か旨い母関数のテイラー展開とか、その微分とか積分とか、何か変な関数の積分に出て来る漸化式の応用、いや案外発散するんじゃないかとか、…
 それじゃ、アプローチの仕方が絞れなくて大変でしょう。どこから手を着ければいいのか分からなくて、多くの人は諦めちゃうだろう。たとえ見込みのあるアプローチを見つけても、その計算に公式集が要るようじゃ何やってんだか分からない。ってんで、「x^2のフーリエ級数を考えてみなさい」というスペシャルヒントが書いてある。そういう問題だと捉えることができます。

 ですが、この[問]は解いて終わりというだけのものじゃない。そのエッセンスはむしろ、こういうことではないでしょうかね:
 「Σ[n=1..∞]1/n^4は幾らか。という話はちょっと置いといてですね、全然関係なさそうな、x^2のフーリエ級数展開をやってごらんなさい。いーからやんなさい。ともかくやるんです。…するとどーです、Σ[n=1..∞]1/n^4の値が旨い具合に現れる。まーちょっと、この結果を味わってみませんか。総和を計算するために一見迂遠なフーリエ級数を使うなんて、面白いでしょ。しかも、πですよ、π。この級数からπが出て来るなんて予想できました?ナント、πの値を計算する公式が得られちゃった訳です。楽しいね」。

 たとえば「じゃあ、もっと他の関数のフーリエ級数展開を使うと、このやり方でどんな無限級数が計算できるかな?」という風にでも、興味が発展すると良いのですけどね。

 どうやら、話の筋がこんぐらがってるように思います。

 この[問]全体の構造を見れば、これは「x^2の直交展開からΣ[n=1..∞]1/n^4を計算するにはどんな直交関数系を使えば良いか」という話ではない。「x^2の直交展開から何が言えるか」という話ですらない。そもそも「x^2」なんざ脇役です。

 もし[問]が「Σ[n=1..∞]1/n^4を計算せよ」というのだったら、アプローチはいろいろある。
 公式集で探すとか、とりあえず検索掛けてみるとか、知ってる公式が使えないかとか、部分和を作ってみるとか、項の順序を...続きを読む

Q同心球導体球の接地について

同心球導体球の接地について、過去に質問されていなかったのでおねがいします。
同心球導体球において、外側の球に電荷Qを与え、内側の球を接地した場合、電界はどのようになるのでしょうか?
(内側の球の半径a、外側の球の内径b、外径cです。)
回答は、
a<r<b、c<rの場合についてお願いします。

Aベストアンサー

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷) + Q - Q'(外側の球の表面電荷) = Q - Q'
  半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε → E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
  半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r~∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
  外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

  内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
  半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε → E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
  半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r~b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
  式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
  内側の球は接地されているので、V2(a) = 0  →  ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
  したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

(3)電界分布
  式[3]を式[1],[2] に代入すれば
  E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(4)まとめ
  a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
  c<r  のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
  外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
  -Q'(内側の球の表面電荷) + Q'(外側の球の裏面電荷...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14


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