Ω_n:=(-n,-n+1]∪[n-1,n)と置けばσ有限な測度空間?

「(Ω,B,m)を可測空間とし,m(Ω_n)∈R且つ∪[n=1..∞]Ω_n=Ωを満たす互いに素な可測集合(Ω,B)が存在する時,
(Ω,B,m)をσ有限な測度空間と呼ぶ」

という定義で

その例として
Ω_n:=(-n,-n+1]∪[n-1,n)と置けばσ有限な測度空間である事が分かる。

とだけ説明されてるのですがこれはmやBをどのように定義してあるのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2008/07/11 09:36

Ω_n:=(-n,-n+1]∪[n-1,n)だと

Ω=∪[n=1..∞]Ω_n=∪[n=1..∞]((-n,-n+1]∪[n-1,n))=(-∞,∞)=R
だから、R上のルベーグ測度の積もりじゃないかと思うけど。
ルベーグ測度なら各Ω_nで有限なのは分かりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

m∈Map(B,R∪{+∞})が可測空間(A,B)でσ有限測度
⇔(def)
∃{b_n}はBの元の列でb_i∩b_j=φ(i≠j)でm(b_i)∈R

なので

「その例として
Ω_n:=(-n,-n+1]∪[n-1,n)と置けばσ有限な測度空間である事が分かる」
はB:=2^R,∀b∈B,m(b)∈[0,+∞)とおいてやればσ有限測度の定義を満たしますね。

お礼日時：2008/08/18 05:52