微分演算子でわからないんですが・・・

つまずいているのですが
(1)逆演算子で、[x^2　+3]/D を解くということは積分すればいいのでx^3/3 +3xという答えになるのですがなんで積分定数Cはつけないのでしょうか？
(2)わからない問題があるのですが、
(D+1)^2 y=x　という微分演算子の微分方程式の問題なのですが、
D=-1(重解)より、同次方程式の基本解は{e^-x ,xe^-x}となる。
特殊解をv(x)とし、(D+1)^2 [v(x)]=x よりv(x)を求める。
　v(x)=1・[x]/(D+1)^2
・・・というところまでしか解けません。逆演算子の公式に当てはまらない場合はどのように求めればいいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： eliteyoshi 回答日時： 2008/07/16 22:02

(2)の特殊解を求める問題で「逆演算子の公式に当てはまらない」とありますが、逆演算子の展開はご存知ですか？

1/(1+aD)=1-(aD)^2+(aD)^3-(aD)^4+ …
1/(1-aD)=1+(aD)^2+(aD)^3+(aD)^4+ …

という感じです。これより、
[1/(1+D)]・[1/(1+D)]x
=[1/(1+D)]・(1-D+D^2-…)x
=[1/(1+D)]・(x-Dx+D^2x-…)
=[1/(1+D)]・(x-1)
=(1-D+D^2-…)(x-1)
=x-1-1
=x-1

(D+1)^2 y=xの一般解は
y=(A+Bx)e^-x +(x-1)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/07/16 02:29

(1) は簡単にするために書いていないだけだと思う.

(2) の方は... [1/(D+α)]f(x) が計算できればいいだけですね. これは指数関数とか積分を使って書けたはずです.
とはいえ (簡単な) 多項式ならそんなことするよりがんばって展開する方が楽で, [1/(D+1)^2] x = (1-2D) x = x-2 だけど.