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f(x)=sin[x]^3 (-Pi < x < Pi)のフーリエ級数展開をしたいのですが、私の計算によると正弦級数が0になってしまいます。余弦級数が0なのは、上記の関数が奇関数だからで納得できますが、どうもこれはおかしいです。

私の解き方を説明すると、まずf(x)=sin[x]^3をsin[x]-((1-cos[2t])/2)と直し、bk=(1/Pi)∫(-Pi->Pi) f(x)*sinkt dt となり、これを解くと0になりました。どこが間違っていて、どうしたら解けるのでしょうか?

何卒ご教授下さい

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A 回答 (2件)

  sin(x)^3 = sin(x) -(1 -cos(2x))/2


の変形が違うようですよ。

正しくは
  sin(x)^3 = sin(x)*(1 -cos(2x))/2
ただ、これでもまだ積分しにくいので更に変形して
  sin(x)^3 = sin(x)/2 -sin(x)cos(2x)/2
       = sin(x)/2 -(sin(3x)+sin(-x))/4
       = 3*sin(x)/2 -sin(3x)/4
までするのがいいと思います。
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この回答へのお礼

初歩的なミスでした、恥ずかしいです><
丁寧な解説、分かりやすかったです。
どうもありがとうございました!

お礼日時:2008/07/19 20:17

> まずf(x)=sin[x]^3をsin[x]-((1-cos[2t])/2)と直し、


式が間違いです。

3倍角に公式
sin 3x = 3 sin x - 4 sin^3 x
から
sin^3 x = (3/4)sin x -(1/4)sin 3x
です。この関数の(基本)周期は2πですから
これはもうフーリエ級数展開された形をしています。
a0=0, bk=0 (for all k)
a1=3/4, a2=0, a3=-1/4, ak=0 (for k>=4)
ということですね。
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この回答へのお礼

既にフーリエ級数展開された形というのが驚きです。こういうこともあるのですね!

どうもありがとうございました!

一つ疑問が残りました
「この関数の(基本)周期は2πですから
これはもうフーリエ級数展開された形をしています。」
というのがよく分かりません・・・

お礼日時:2008/07/19 20:33

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