「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

非線形微分方程式について質問です。
とある大学院試験の数学の問題で次のような問題がありました。
y = dy/dx (x) + 4(dy/dx)^2
この微分方程式は (dy/dx)^2 の項があり、非線形微分方式です。
非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。

私はこの問を解けませんでした。
解くことは可能なのでしょうか。
お願いします。

A 回答 (3件)

a^2y=ax+4


(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味がない
(定石)
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をxで微分して(pの微分方程式にして)
pを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=f(p、y)のときはyで微分する(1/pとすれば上とおなじ)
などなど
>非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた(解くことができる)有名な”非線形の”方程式が出る。
(とおもう)
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この回答へのお礼

丁寧な回答を頂き感謝致します。
非線形微分方程式の演習はほとんど経験がなかったため、このように丁寧に説明して頂き大変助かりました。
大学院試験までもう少しだけ時間があるので、非線形微分方程式の問題を探して勉強してみようと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/07/21 14:48

そうだとすると


y=0は特殊解
ax=a^2y-4
y=(ax+4)/a^2
が一般解
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
このaについて質問なんですが、a=(dy/dx)ですよね。
非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

お礼日時:2008/07/20 11:14

dy/dx (x)


の意味がわからない
dy/dx×x
だろうか

この回答への補足

その通りです。
判り辛い表記をしてしまいました。
お詫び致します。

補足日時:2008/07/20 10:58
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Q線形2階微分方程式と非線形2階微分方程式の違いは?

数学用語の意味の違いがいまいちつかめません。

(1)【線形2階微分方程式】
未知数y(x)とその導関数y'(x),y''(x)についての線形の微分方程式
   y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
を 2階線形微分方程式という.最も簡単な例として
d^2f(x)/dx^2=0
がある。

(2)【非線形2階微分方程式】
非線形2階微分方程式の定義がテキストには載っていなかったのですが、
   y''+p(x)y'+q(x)y ノットイコール f(x)
が非線形2階微分方程式ということでしょうか?

(1)と(2)の違いがどこにあるのか、はっきりせずにモヤモヤしているので、
スッキリさせたいです。どなたか数学に詳しい方がいらっしゃれば、
どうかご教授下さい。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

線形微分方程式は、y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
など、微分演算子を、D=Dxx+p(x)Dx+q(x)のように
ひとつにまとめて、
Dy=f(x)
のように書けるものです。
ここに、Dxxはxで2回微分、Dxはxで1回微分することを意味する。
関数全体の空間をベクトル空間と見て、
Dは関数空間の間の線形写像になっているから線形微分方程式
といいます。
一方、y''y+y'=f(x)のようなものは、Dy=f(x)の形に書けないので、
線形微分方程式とは言いません。
要するに、y,y',y'',…の線形結合=f(x)のタイプが線形微分方程式
で、そうでないものが、非線形微分方程式です。

Q定数係数以外の2階常微分方程式の解

次の問題の解法が分かりません。

次の常微分方程式の一般解を求めよ。
(1)y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
(2)x^2*y''-2y=x

定数係数であれば解けるのですが、このようにxを含む係数の場合どうすればいいのですか?

調べたら級数展開法というものが出てきたのですが途中の計算がよくわかりませんでした。

級数展開法ではない方法で解けるのですか?

Aベストアンサー

>もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか?

とにかく、なんとかして、特解を見つけることです。
(1) y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
パッと見ると、y'' 、 4x*y' 、 (4x^2-2)y てことなんで、
一回微分すると、xの一次式が出てくる感じがします。というわけで、
y = exp(ax^2+bx+c)
なんかが解の候補になりそうです。これを代入して計算すると、…(☆)
y = exp(-x^2-2x)
が一つの解ってことがわかります。
で、特解u(x)が一つ見つかった後は、y = u(x)*z(x) と置きます。(#1はちょっと誤植がありました。)
この場合だと、
u(x) = exp(-x^2-2x) として、
y = u(x) * z(x)
と変数変換すると、
u(x)*z''(x) + { 2u'(x) + p(x)*u(x) }*z'(x) = 0
というz'(x)に関する 1次微分方程式になります。
で、z'(x) の一般解を求めて、一回積分して z(x)を求めて、
y = u(x) * z(x)
で、元の微分方程式の一般解が求まります。

ただ、実際には(☆)の段階で、
独立な解が2つ求まるので、それの線形結合という形で簡単に一般解が求まります。
y = C1*exp(-x^2-2x) + C2*exp(-x^2+2x)

(2) x^2*y''-2y=x
とりあえず、まず、右辺0(斉次)としてみると、パッと見で一回微分すると次数が1減るみたいなんで、
単純に、y = x^α と置いて、斉次方程式に代入してみると、y=x^2 と、y=1/x が(独立な)解ということがわかります。
あとは、非斉次方程式の特殊解を見つければいいわけですが、これは、見た目から y=-x/2 ていうのが見つかります。
というわけで、一般解は、
y = C1*x^2 + C2/x - x/2
ですね。

>もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか?

とにかく、なんとかして、特解を見つけることです。
(1) y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
パッと見ると、y'' 、 4x*y' 、 (4x^2-2)y てことなんで、
一回微分すると、xの一次式が出てくる感じがします。というわけで、
y = exp(ax^2+bx+c)
なんかが解の候補になりそうです。これを代入して計算すると、…(☆)
y = exp(-x^2-2x)
が一つの解ってことがわかります。
で、特解u(x)が一つ見つかった後は、y = u(x)*z(x) と置きま...続きを読む

Q微分方程式の解法

こんにちは。微分方程式で分からない問題があります。

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Q大学院別のTOEICの合格点を教えてください。

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このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
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そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q線形・非線形って何ですか?

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問:線形、非線型ってどういう意味ですか?』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間+歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=A(一定)

という規則が成り立つからです。

xやyの例としては昨日の例で言う例1だとxがガムの個数、yが全体の金額、例2だとxが時間、yが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

(yの増加量)=A×(xの増加量)・・(1)

ということがわかります。つまり、Aの値さえわかれば、xが増えたときのyの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Aの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて(下に落ちるにつれて)落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、1秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。(ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです)

数学の問題のように初めから「時速100kmで走る」とか「1個100円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Aの値さえわかれば」の「A」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。(ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか??)つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。(これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です)つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか?実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが(もちろん単なる線形よりは難しいですが)できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。(つまり、非線形のものが多いんです)

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m(あと、長文も勘弁してください)


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、xの値が変化するにつれて変化するyがあったときに、

(yの増加量)/(xの増加量)=...続きを読む

Q微分方程式の平衡点の安定性

微分方程式の平衡点の安定性とはどうやったら判別できるのでしょうか?
例えば、dx/dt=x(1-x)(1/2-x)という微分方程式については
どうやって解けばいいですか?
下のようなサイトを調べましたが、どうもよく分りません。
http://www4.pf-x.net/~arataka/ode/node7.html

Aベストアンサー

適当に座標をずらしてx=0が平衡点になるようにしてあるとします。リアプノフ関数を
 V(t)=(x(t))^2
で定義します。もしx=0の適当な近傍の中で、すべてのtについてdV/dt<0 であるならば、この近傍内の解はx=0に収束し、x=0が安定平衡点は明らかです(安定でないのはすべてのtについてdV/dt>0 である必要はない)。dx/dt=x(1-x)(1/2-x)のx=0の平衡点を調べてみると、この点の近傍で
 dV/dt=2x・(dx/dt)>0
初期値が0より少し大きければ、dx/dt>0なのでオイラー法の次のステップではx=0からさらに大きくなっててしまう。0より少し小さければ、dx/dt<0なのでオイラー法の次のステップではx=0からさらに小さくなっててしまう。つまり安定ではありません。x=1/2を原点に持ってくるように平行移動して、x'=x-1/2と書き直し、x'の微分方程式に書き直して上記を適用すると、dV/dt<0すなわちx'=0は安定平衡点であることが示されるはずです。

Qルンゲクッタで非線形連立微分方程式を解きたい

数値計算は素人です。

ルンゲクッタで下記の3本のようなの方程式系を解きたいのですが、
うまくいきません。
dx/dt=3x+(x-c)dz/dt
dy/dt=y*(dz/dt - 2(x-1)/(x-c))
dz/dt=z* ((a/(x-c))(y/z)+ 2x^2 - 3b)/(y/z-x^2)
a,b,cは定数です。

計算自体は途中で発散等せずにできているのようですが、
結果が間違っています。

ルンゲクッタのコード自体は、他の既知の関数で実験し、
誤りはないかことを確認したつもりです。

そもそも、関数系がこれくらい煩雑になれば、
ルンゲクッタでは解けないのでしょうか?

年の暮れのお忙しい時期ですが、アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

 ルンゲクッタは非常に強力な方法です。おいそれと駄目になるとは思えません。ただし前提条件はあります。その際たるものが、解は発散したりしないという条件です。
 目標の微分方程式を見ると、/(x-C)や/(y/z-x^2)が入っています。もし(x-C)=0や(y/z-x^2)=0の近傍を解が通過するようなら、それだけで、ルンゲクッタといえども変な解を出すような気がします。こういう事態は経験的には、人間が見張っているしかありません。
 もしも原因がそうなら、それは人間であるあなたが、解をコントロールして対処するしかないと思えます。だから私は非線形計算をやりたくないです(寝ずに見張っていることになりますから)。あと考えられるのは、解析ソフト(自作プログラムも含みます)を変えることだと思います。

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む


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