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反射律、対称律、推移律の下記例を挙げたいのですが、回答は正しいでしょうか。
(1)反射律であり、対称律でなく、推移律でない。
例){(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b)}
(2)対称律であり、反射律でなく、推移律でない。
例){(a,b),(b,a),(c,c),(d,d)}
(3)推移律であり、反射律でなく、対称律でない。
例){(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}

A 回答 (2件)

「反射律であり」とかいうのは日本語として変. 「反射的」という.


(2) と (3) はいいけど (1) はダメじゃないか? 推移的な気がするぞ.
(b, c) でも追加してやったら?
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この回答へのお礼

失礼しました。「反射的」か「反射律を満たす」ですね。
(1)は考えてみるとご指摘通り推移的だと思いました。なるほど(b, c)を追加する場合、更に(a, c)を追加すれば推移律を満たすが、(b, c)だけ追加する場合、推移的を満たさないということですね。有り難うございました。

お礼日時:2008/07/22 01:37

こんばんわ。



せっかくなのでそういう結果だけではなくて何故そういう答えに至ったかも書いてみてください。

セミナー風に質問してみます。

回答(3)を見てみると
質問者さんは{(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}と考えた結果を書いてくださっています。

これは元は4つしかないということですか?
関係Rについては何か言及はありませんか?
aRb∧bRc⇒aRcは成り立ってそうですけど
aRc∧cRd⇒aRdについてはどうなんですか?

例えば
xはyの倍数である x>y この2つの関係を考えてみてください。
前者は推移律と反射律、後者は推移律のみを満たします。

{(a,b),(b,c),(a,c),(d,d)}の答えのみで上記した例2つの違いが説明できますか?
必要性と十分性は?

と質問に質問を返してみました。

どうでしょうか。

この回答への補足

ご回答有り難うございます。考えの過程を書いておりませんでしたので下記に必要条件を記載致します。
元は{a, b, c, d}の4つを想定します。なお、考える際は、まず有向グラフを書いて、以下の考えをベースに例を挙げました。
(1)反射律を満たす場合
「すべての元にループがついていること」
(2)対称律を満たす場合
「異なった要素どうしの矢印があるときは、両方ついていること」
(3)推移律を満たす場合
「矢印を二回辿って到達出来る元どうしには、直接矢印がついていること」

これをもとに(1)~(3)を考えると
(1)反射的であるために全ての元(a, b, c, d)をループさせる。対称律を満たさない為に異なる元どうしで片方だけ矢印を引く(a, b)。(それから抜けていましたが、)このままだと推移的になってしまうので、推移的でなくす為に更に(b, c)を引く。
(2)対称的にするために、異なる元どうしで両方に矢印を引く((a, b), (b, a))。以上が必要条件。(c, c)及び(d, d)はたまたま入れてみました。
(3)推移的にするために、異なる元3つで(a, b), (b, c), (a, c)をつくる。以上が必要条件。(d, d)はたまたま入れてみました。

関係Rの内容については、特に意識せずに作成してみました。

補足日時:2008/07/22 01:54
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Q反射律・対称律・推移律

お世話になります。数学大嫌い男です。
やや数学っぽい本を見ていたら、反射律・対称律・推移律というのが書いてありました。
しばらくいくと次の問題がありました。

問「対称律と推移律が成り立つとき、対称律によって a~b ならば b~a,したがって推移律によって a~a となって反射律が成り立つという論法は誤りであることを説明せよ」

答「問題の論法は関係のついている元aだけについて a~aを言ったにすぎない」

私にはチンプンカンプンです。
答も何を言っているのかわかりません。
だって本には簡単にしか書いてません。反射律・対称律・推移律の定義を私がよく分かっていないのかな?

どなたか分かる人がいらっしゃいましたら、お教えください。
数学嫌いの私でも分かるように、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

あぁ, 確かにひっかかりますね....
この問題を理解するためにはもちろん「反射律」, 「対称律」, 「推移律」を理解しなければならないんですが, 根底には「数学における『ならば』の意味」というポイントがひそんでいます.
日常での「A ならば B」という表現では, 「A が成り立たないとき」は考えていません. しかし, 数学における「A ならば B」は, 「A が成り立っているときには B も成り立つ」, つまり「A が成り立っていないときには B が成り立つかどうかに関係なく『A ならば B』は成り立つ」と解釈します. この, 日常と数学における「ならば」の意味の違いをきちんと理解しなければなりません.
さて, その上で「どの要素も (自分自身を含めて) どの要素とも関係を持たない」という関係 (日常用語では「関係」とはいわないけど, 数学ではこれも「関係」とみなします) を考えてみましょう.
まず対称律: 「全ての a, b に対し a~b ならば b~a」について考えます. 今考えている関係では, どの要素に対しても a~b は成り立ちません. このことから「全ての a, b に対し a~b ならば b~a」は成り立ってしまいます. ということは, この関係は対称律を満たします.
次に推移律: 「全ての a, b, c に対し a~b かつ b~c ならば a~c」ですが, これも同じように考えると満たしていることがわかります.
最後に反射律: 「全ての a に対し a~a」ですが, これは明らかに成り立ちません.
結局, 対称律と推移律では「ならば」を使っているのに対し反射律では「ならば」が出てこないことが差異として現れています.

う~ん, わかりづらそうだ.... どこがわからないか書いてもらえれば, 詳しく説明するかもしれません.

あぁ, 確かにひっかかりますね....
この問題を理解するためにはもちろん「反射律」, 「対称律」, 「推移律」を理解しなければならないんですが, 根底には「数学における『ならば』の意味」というポイントがひそんでいます.
日常での「A ならば B」という表現では, 「A が成り立たないとき」は考えていません. しかし, 数学における「A ならば B」は, 「A が成り立っているときには B も成り立つ」, つまり「A が成り立っていないときには B が成り立つかどうかに関係なく『A ならば B』は成り立つ」と解釈します...続きを読む

Q集合論>二項関係>反射律、対称律、推移律

タイトルのごとく、反射律、対称律、推移律の質問です。
集合A上の二項関係を~とする。

このときこの二項関係が対称律、推移律を満たせば
x、y∈Aとして、
「x~yかつy~x⇒x~x」
が成立する
故に、二項関係が対称律と推移律を持てば、反射律をもつと考えました。

しかし、大学のレポートで、「対称律と推移律はもつが、反射律をもたない二項関係をあげよ」という問題がでできました。
上記の僕の証明は間違っているのでしょうか?
どなたか知っている方、教えてもらえますか?

Aベストアンサー

No.2 は特殊すぎて面白くない?

では,整数全体において
m~n ⇔ mn>0

0~0 でないので反射律は成り立たない。

要するに,
∃y(a~y) ⇒ a~a
が,対称律,推移律からいえるので,
∃x∀y(x~y でない)
ような例を考えればよいのです。

No.2 は,∀x∀y(x~y でない) の例
上のは,∀y(0~y でない) の例です

Q同値関係の問題です。

「反射律、対称律を満たすが、推移律は満たさない関係の例をあげよ」
という問題です。
同値関係については少しは理解しているのですがまだ勉強を始めたばかりでこういう問題はちょっと苦手です。
ヒントだけでも頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

二つの正方行列X, Yに対して、
「XY = YX」となるようなXとYのペアの関係を
「X~Y」とでも表すことにしましょう。
行列では一般に交換法則は成り立ちませんが、
たまたま交換しても等しくなるようなペアを考えるわけです。
この「~」は反射律・対称律は満たしますが、推移律を満たしません。
・反射律
任意の正方行列Aに対して、AA = AAですから、A~A です。
・対称律
A~Bを満たす A, B は定義より AB = BA を満たし、
これは BA = AB と同じことですから、B~A も満たすことになります。
・推移律
正方行列には単位行列Eというものが存在しますから、
任意の正方行列 A,B に対し、
AE = EA すなわち A~E
EB = BE すなわち E~B
が成り立ちます。推移律が成り立つとすれば
A~E かつ E~B ならば A~B
となるはずですが、一般にAB = BAとは限りませんから、
推移律は成立しません。

なお、ここでは例として正方行列を挙げましたが、
いわゆる「非可換群」一般について同様のことが言えます。

二つの正方行列X, Yに対して、
「XY = YX」となるようなXとYのペアの関係を
「X~Y」とでも表すことにしましょう。
行列では一般に交換法則は成り立ちませんが、
たまたま交換しても等しくなるようなペアを考えるわけです。
この「~」は反射律・対称律は満たしますが、推移律を満たしません。
・反射律
任意の正方行列Aに対して、AA = AAですから、A~A です。
・対称律
A~Bを満たす A, B は定義より AB = BA を満たし、
これは BA = AB と同じことですから、B~A も満たすことになります。
・推移律...続きを読む

Qセグメンテーション違反

C言語を使用しています。

構造体に値をいれようとしたら、コンパイルは出来るのですが、実行時に
「セグメンテーション違反です (core dumped)」
となってしまい、それ以上行えません。

構造体と代入したい変数との型は、合っています。

いろいろ本などで見ましたが、何が原因かわからず困っています。
教えてください。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

OSは何でしょうか。コンパイラは何を使用していますか?
通常、デバッグオプションをつけて実行すると、異常の発生したソースの箇所で止まりますので、それが手がかりになります。またNo1の方が言われてますように、ソースが公開できるのであれば、ソースを提示するのが良いかと思います。

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

Q卒業検定に落ちた人!

卒業検定に落ちた人!
(ペーパー試験じゃなくて、実技の方)

どの理由で落ちたか教えてください。
あと10日程で、卒業検定です。
参考にさせてください。

Aベストアンサー

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返しで
抜けられるところ,未熟なため列から抜け出せず
全員が100点原点で不合格になった(実話ですよ)

ポイントは状況判断ミスと走行不能による検定中断になったため
一般的なことは皆様書かれているようなことで
おそらく,質問者様もある程度予測できていることも
あると思います
上のような,予測不可能な事態に巻き込まれたとき
如何に判断して抜け出せるかだと思います

運とか,こういう場面に出くわす確立とか
ありますが,平常,冷静を保つことが大事です!!

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返し...続きを読む

Q同値関係であることの証明

次の問題があります。

任意の集合Aがあり、PはAの分割(Partition)である
A上(に対する)関係Sの定義は
S={(x,y):Pの要素となるBが存在し、x,yはBの要素である}

Sが同値関係であることを証明しなさい

分割、同値関係の意味は理解しています。
しかし、証明となるとわかりません

具体例を考えると簡単なのですが、一般的な証明ができません。

どなたか分かる人いますか。

Aベストアンサー

証明に慣れてないということでしょうか。
#1さんの(1)だけやってみますね。

(1)任意のx∈AについてxSxであることの証明:

PがAの分割であることにより、任意のx∈Aについて、Pの中に
x∈Bである集合Bが存在する。

ここで(x,x)をとると、「Pの要素であるBが存在し、
(左側の)xも(右側の)xもBの要素である」ことが言える。

よって(x,x)は、関係Sの条件を満たすことにより、xSxが言える。

証明終わり。

2番も3番も同じような感じでやってみてください。
書いていて「あたりまえじゃないか」と思うかもしれませんが、
あたりまえの事を連ねて書くのが証明の作法なので、これは慣れです。

Q同値関係とは

同値関係について
教科書などを見ると
反射律、対象律、推移律の3つを満たすときに同値関係になるとかいてあるのですが、その意味がよくわかりません。

説明できる方がいらっしゃいましたら教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

関係~について,

 反射律とは a~a を満たすこと
 対称律とは a~b ⇒ b~a を満たすこと
 推移律とは a~b,b~c ⇒ a~c を満たすこと

です。この3つをすべて満たすことを同値関係といい,
高校までに習った「同値」という概念の本質を端的に
言い表しています。

定義なのだから,そのまま認めればいいだけのことですが,
実感がつかみにくいなら,中学・高校で習った具体例を
あげるとよいでしょう。
例えば,線分の長さについて考えると
  AB=AB,
  AB=CD ⇒ CD=AB,
  AB=CD,CD=EF ⇒ AB=EF
が成り立ちますから,「線分の長さが等しい」という関係は
同値関係ですね。

大学の数学って,今まであいまいにしてきたことを,
スッキリさせてくれますよね。

Q【10の13乗】って英語でどう読むのですか?

【10の13乗】って英語ではどう読めばいいのでしょうか。

これにかかわらず指数の英語での読み方を教えてください。宜しくお願いします!

Aベストアンサー

こういうのは乗数とか累乗というのでは?
xのn乗は、x to the nth powerといいます。
2乗はsquared(5の2乗はfive squared),3乗はcubed(7の3乗はseven cubed)ともいいます。

『これを英語で言えますか?』講談社 は、他にも数式の読み方なども載っていますよ。

Q3行3列の行列の和と積の計算方法を教えて下さい。

3行3列の行列の和と積の計算方法を教えて下さい。
できれば、例題があればありがたいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

3行3列の行列同士の計算でいいのでしょうか。
ちょっとずれてしまうかもしれませんがご了承ください。

例えば、
行列A
|a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|

行列B
|b11 b12 b13|
|b21 b22 b23|
|b31 b32 b33|

があったとき、
A×Bは
|a11×b11+a12×b21+a13×b31 a11×b12+a12×b22+a13×b32 a11×b13+a12×b23+a13×b33|
|a21×b11+a22×b21+a23×b31 a21×b12+a22×b22+a23×b32 a21×b13+a22×b23+a23×b33|
|a31×b11+a32×b21+a33×b31 a31×b12+a32×b22+a33×b32 a31×b13+a32×b23+a33×b33|

A+Bは
|a11+b11 a12+b12 a13+b13|
|a21+b21 a22+b22 a23+b23|
|a31+b31 a32+b32 a33+b33|

となります。

例題:次の行列A、Bがあったとき、それぞれの和と積を求めよ。
行列A
|1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|

行列B
|7 8 9|
|1 2 3|
|4 5 6|

A×Bは
|1×7+2×1+3×4 1×8+2×2+3×5 1×9+2×3+3×6|
|4×7+5×1+6×4 4×8+5×2+6×5 4×9+5×3+6×6|
|7×7+8×1+9×4 7×8+8×2+9×5 7×9+8×3+9×6|

|21 27 33|
|57 72 87|
|93 117 141|

A+Bは
|1+7 2+8 3+9|
|4+1 5+2 6+3|
|7+4 8+5 9+6|

|8 10 12|
|5 7 9|
|11 13 15|

となります。

3行3列の行列同士の計算でいいのでしょうか。
ちょっとずれてしまうかもしれませんがご了承ください。

例えば、
行列A
|a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|

行列B
|b11 b12 b13|
|b21 b22 b23|
|b31 b32 b33|

があったとき、
A×Bは
|a11×b11+a12×b21+a13×b31 a11×b12+a12×b22+a13×b32 a11×b13+a12×b23+a13×b33|
|a21×b11+a22×b21+a23×b31 a21×b12+a22×b22+a23×b32 a21×b13+a22×b23+a23×b33|
|a31×b11+a32×b21+a33×b31 a31×b12+a32×b22+a33×b32 a31×b13+a32×b23+a33×b33|

A+B...続きを読む


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