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質量mの物体に作用するポテンシャルエネルギーが
U(x) = ax^2 + bx + c  で与えられる時この物体はどのように運動するか(t=0のときx=0,V=V0 Vは速度 a,b,cは正の定数)という問題です。

du/dx = 2ax + b =-F
F=mα(αは加速度)とすると mα=-2ax - b ここからどうしたらいいんでしょうか?
xについて整理しても、αについて整理してもどのような運動をするのかわかりません。この手の問題はどうも苦手です。

今日、この分野の試験があるので、出来るだけ早く回答してください。お願いします。

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A 回答 (4件)

dU(x)/dx=-F


ということあhもちろん御存知ですよね。

du/dx=2a*x+b
=2a*(x+b/a)

運動方程式
mα=-2a*(x+b/a)

これはばね定数2aのフックの法則をちょっとずらした風に考えてみると出来ると思います。

x1=x+b/aに変換すると、意味がわかってくるのではないかと思います!

そしたら、振動中心・・・ 周期・・・・  の(運動の名前)

とかけるはずです!




ちなみに、ポテンシャルエネルギーのグラフを書くと、運動の様子がすぐに目で見てわかりますよ!
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ばね定数kのばねに質量mの錘をつるし、つりあいの位置からxだけのばし、さらに、一定のちららF=ksで引っ張っていると


mα=-kx -ks
mα=-k(x+s)
x+sをXとすれば
X''= x''=α

mα=-kX
のような運動をするのでしょうか。

ちなみに、ばねのポテンシャルは1/2kx^2
重力のポテンシャルは、mgx
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>微分方程式を解いてみたんですが、変な結果に。

。。
>m*dx^2/dt^2 = -2ax - b  において x = A*cos(ωt)とおくと
x = A*cos(ωt)と置いて変な結果になったてことは、つまり、x = A*cos(ωt)と置いたのが間違ってた(こう置けない)ってことなんです。
なんで、別の置き方を考えましょう。
例えば、
x = A*cos(ωt) - b/2a
と置いてみましょう。
なんでこう置くかは、数学の講義で微分方程式を習っているなら、そのときのノートを見て下さい。
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大学生ですよね?



F=mα(αは加速度)とすると mα=-2ax - b
α=dx^2/dt^2
ですから、つまり、これは微分方程式
m*dx^2/dt^2 = 2ax - b
です。
あとはこれを解けばいいです。

この回答への補足

一応、大学生です(汗)

微分方程式を解いてみたんですが、変な結果に。。。
m*dx^2/dt^2 = -2ax - b  において x = A*cos(ωt)とおくと、
x'' = -Aω^2*cos(ωt)
与式に代入
-Aω^2*cos(ωt) = -2aA*cos(ωt) - b
A*cos(ωt)*(2a-mω^2) = -b
A=-b/{cos(ωt)*(2a-mω^2)}
∴x=-b/(2a-mω^2)
これだとxが時間に依存していないから明らかにおかしいですよね?
どこが違うんでしょうか?すいませんが、教えてください。お願いします。

補足日時:2008/07/22 01:54
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