化学系、大学2回生です。
勉強していて気になったことがあるのでお願いします。
分子による光の放射・吸収の量子論的な取扱いで、
古典論として、レイリー・ジーンズの法則を学びました。
その式の証明の作業なのですが・・・
振動子の平均エネルギーをkTとして、波長がλとλ+dλの間にある光エネルギー(dU)はその範囲にある振動子の数をdN(λ)とすると、
dU=kT・dN(λ)
と表せます。
ここまではいいのですが、この後です↓↓
dU=(8πkT/λ^4)dλ となるらしいのです。。
dN(λ)=(8π/λ^4)dλ ということなのでしょうか??
もし、そうだとすれば、なぜそうなるのでしょう…?
おそらく球の表面積?かなにかが関係しているのかと思うのですが。
おねがいします!!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> dU=kT・dN(λ) の式から続けて導く方法が知りたい
これは、波長がλとλ+dλの間にある(単位体積当たりの)振動子の数 dN(λ) が
dN(λ)=(8π/λ^4)dλ
で与えられることを示せばいいわけですよね。
ANo.1の参考URLの式(2.4)から、振動数がνからν+dνの間にある単位体積当たりの振動子の数 dN(ν) を求めると
dN(ν)= 2*{式(2.4)/L^3} …… 偏光の自由度があるので2倍している
=2 * (1/8) * (4π/3) * (2ν/c)^3 * {(1+dν/ν)^3 - 1}
=2 * (4π/3) * (ν/c)^3 * {(1+3dν/ν) - 1} …… dνの2次以上の項を落とした
=(8πν^2/ c^3) dν
となります。ただし参考URLでのΔνをdνにしました。式(2.4)を導く際、暗にΔν=dν>0 が仮定されていますが、dν<0の場合は式(2.4)の符号が変わりますので、dν>0 の仮定を外せば、結局
dN(ν)=(8πν^2/ c^3) |dν|
になります。この式の右辺にANo.1のν=c/λ, dν=-(c/λ^2)・dλを代入すれば
dN(λ)=(8π/λ^4) |dλ|
得られます。絶対値が付いているところがもともとの式とは違いますけど、もともとの式では dλ<0 のとき dN(λ)<0 になって不合理ですから、もともとの式では dλ>0 が暗に仮定されているのでしょう。
> これは原理的に無理なのでしょうか?
dN(ν) を経由しないで導出することが可能か?という意味でしたら、「おそらくは可能」だと私は思います。が私自身は確認していないです。
参考URLの[問い2-1]にあるν = [(c√[((nx)^2+(ny)^2+(nz)^2)])/2L] という関係式が出発地点となる式ですから、これを ν=c/λ を使って波長の式に直してからスタートしてもゴールまで行けるはずです。いろいろ試して遊んでみて下さい。
分かりやすく助かりました。
とてもご親切にありがとうございます!!
証明が苦手だから覚えてしまうっていうのは良くないですしね。
ありがとうございました!
No.1
- 回答日時:
> dN(λ)=(8π/λ^4)dλ ということなのでしょうか??
はい。そうです。
> おそらく球の表面積?かなにかが関係しているのかと思うのですが。
はい。球の表面積が関係しています。
参考URLの「2.2 箱に閉じこめられた電磁波」に丁寧な解説があります([問い2-1]より前の部分は、少し難しいかも)。一辺Lの立方体型をした空洞を考えて、その空洞のなかにある振動子の数(電磁波のモードの数)を勘定する、というのがポイントです。
参考URLでは、レイリー・ジーンズの式が振動数νで表されていますけど、
ν=c/λ, dν=-(c/λ^2)・dλ,E=dU/dν
を使えば、波長λで表した式に変換できるはずです(振動数ν~ν+dνが波長λ~λ-dλに対応すると考えれば、負号は落とせます)。
がんばって下さい。
参考URL:http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/qm2006/qm2 …
この回答への補足
回答ありがとうございます。
参考URLは大変重宝させていただきました。
ですが、dU=kT・dN(λ) の式から続けて導く方法が知りたいと思いました。
これは原理的に無理なのでしょうか?
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