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「a,b∈R ab≧1⇒a^2+b^2≧a+bであることを証明せよ。」

この問題について私は相加相乗平均の関係を用いて

a^2+b^2≧2√a^2b^2=2|ab|≧2

などと色々計算しましたが、なかなか証明できません。

証明方法についてご回答宜しくお願いします。

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A 回答 (5件)

>この問題について私は相加相乗平均の関係を用いて



a>0、b>0という条件がない以上、相加平均と相乗平均の関係は使えない。

では、どうするか?

a^2+b^2≧a+b → (a-1/2)^2+(b-1/2)^2≧(1/2)^2 ‥‥(1)
ab≧1 ‥‥(2)
(1)と(2)をab平面上に図示すると、明らか。

(別解)

a+b=m、ab=nとすると、n≧1、m^2-4n≧0 ‥‥(1)
a^2+b^2-(a+b)=m^2-2n-m ‥‥(2)であるから、(1)の条件で(2)≧0が成立する事を証明すればよい。
ab平面上に図示すると、すぐ分るだろう。
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外野が煩いから、実数解の条件がいらない解を披露しよう。

。。。。笑

a+b=x、a-b=yとすると、2a=x+y、2b=x-yであるから、ab≧1よりx^2-y^2≧4 ‥‥(1)

(注)aとbは実数から、当然にもxとyも実数。従って、実数解の条件は不要。

a^2+b^2-(a+b)=(1/2)*(x^2-2x+y^2)である。
y^2≧0より、x^2-2x=x(x-2)≧0が示されると良い。
ところが、(1)よりx≧2、or、x≦-2であるから、いずれにしてもx^2-2x=x(x-2)≧0。 (おわり)
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私へのレスですか?



>つまり判別式D=x^2-4y≧0の範囲の(x,y)しか取れないということです。
>この制約条件を書かないと減点対象です。

書いてますけれど。↓
n≧1、m^2-4n≧0 ‥‥(1)
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take_5さんのようにx=a+b,y=abと置き換える方法はよく使うので推奨します。



回答に書いてありますが、この置き換えの際にx,yが実数(a,b∈R)
をとる条件として
「t^2-(a+b)t+ab=t^2-xt+y=0の2解a,bが実数解をもつ」という制約がかかるのに注意してください。つまり判別式D=x^2-4y≧0の範囲の(x,y)しか取れないということです。

この制約条件を書かないと減点対象です。
余談失礼しました。
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書き込みミス。

。。。。。笑

>ab平面上に図示すると、すぐ分るだろう。

      ↓

mn平面上に図示すると、すぐ分るだろう。
m^2-2n-m=kとすれば、k≧0を示すだけ。
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