rotF=0⇒Fは保存力の証明 -大学1年生でまだベクトル解析もちゃんと習っ- 物理学

QrotF↑=0

保存力かどうかを判断する条件として、
rotF=∇×F=0 (F,0はベクトル)

という式を習いました。
この式はベクトル積なので、x成分が0でないってわかった時点で、非保存力と判断してよいんですよね？
逆に保存力であるときは、x、y、z、３成分が0になるときのみですよね？

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>この式はベクトル積なので、x成分が0でないってわかった時点で、非保存力と判断してよいんですよね？
>逆に保存力であるときは、x、y、z、３成分が0になるときのみですよね？
もちろんそれでOKです。

（蛇足）
話は外れますが、一般に任意のベクトル場F(r)は、divergence-freeな場Bと、rotation-freeな場Eの和に分解することができることが知られています：F(r)=E(r)+B(r)（すべての点でrotE=0,divB=0）。
よって、任意のベクトル場Fは、適当なスカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAを用いて、F(r)=-gradΦ(r)+rotA(r)と表せるのです。

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Qポテンシャルエネルギーから力を求めるのになぜ偏微分

こんにちは、力学を勉強しております。重力やばねの力が保存力である、ということを学ぶ際に、ポテンシャルエネルギーUを習いました。そして、このポテンシャルエネルギーを位置で微分して力を求める、という次の式が登場しました　（~はベクトル表示のための矢印とお考え下さい）。

~F = -(∂U / ∂x) ~i - (∂U / ∂y) ~j - (∂U / ∂z) ~k .... (1)

ここで、なぜ偏微分なのでしょうか。

~F = -(dU / dx) ~i - (dU / dy) ~j - (dU / dz) ~k .... (2)

というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

たと...続きを読む

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まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか？
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (＊）

ここまでよろしいでしょうか？

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとると

U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) = U(x,y,z) + (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

ここで

ΔU = U(x+Δx,y+Δy,z+Δz) - U(x,y,z)

と定義すれば

ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz

が成り立ちます。つまり、1次までの微小変化であれば、

y,zを止めてxだけ変えたときの変化分、
x,zを止めてyだけ変えたときの変化分、
x,yを止めてzだけ変えたときの変化分、

の合計が全体の変化分に等しいという関係が成り立ちます。
これが全微分ではなく編微分を使う理由です。

この式は

grad U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z )
Δr = (Δx, Δｙ， Δz)

というベクトルを導入すれば内積を使って

ΔＵ = grad U ・ Δr

と書くことができます。

この関数U(x,y,z)を位置エネルギーだとすると、ΔUは微小変位Δr = (Δx, Δy, Δz)に対する位置エネルギーの変化分となりますから、上の(＊）の式に等しく

ΔＵ = grad U ・ Δr＝ΔU = (∂U/∂x)Δx+ (∂U/∂y)Δy+ (∂U/∂z)Δz
　　　＝- F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz )

この二つの式を見比べれば

F = - grad U

成分表記では

Fx = -∂U/∂x
Fy = -∂U/∂y
Fz = -∂U/∂z

となります。

＞というように通常の微分では問題になるのでしょうか。

３次元の調和振動子を考えて見ます。その位置エネルギーは

U(x,y,z) = (1/2)k (x^2 + y^2 + z^2)

これを通常の微分をとるとすると、物体は３次元空間の中をある軌道で運動していますから、xの変化と同時にyもzも変化します。つまり、yとzはxの関数と考えられるので

dU/dx = d/dx [ (1/2)k (x^2 + y(x)^2 + z(x) ^2) ]
= k x + k y(x) dy/dx + k z(x) dz/dx

となり、x方向の力kxを導きません。

まず、微小変位について仕事がどう書かれるかはわかっていますか？
仕事は一次元運動では力×移動距離ですが、三次元運動では力のベクトルと変位ベクトルの内積になります

ΔW = F・Δr (F, Δrはベクトル)

次に、位置エネルギーの定義ですが、位置エネルギーは仕事の符号を変えたものですから、
この微小変位による位置エネルギーの変化分は

ΔU = - ΔW = - F・Δr = - ( Fx Δx + Fy Δy + Fz Δz ) (＊）

ここまでよろしいでしょうか？

次は純粋に数学の問題で、U(x+Δx,y+Δy,z+Δz)をテーラー展開して1次までとる...続きを読む

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Q重力場が保存力場であることの証明について

（通常のベクトルはF↑のように矢印をつけて書き、∇はそのまま書いています）

ある力場F↑が保存力場であるための条件としてよく
　∇×F↑＝0↑
が用いられていますが、この証明にストークスの定理を用いていることから、厳密には
　F↑の定義域が単連結である　かつ　∇×F↑＝0↑
であることを知りました。
（実際に∇×F↑＝0↑の判定だけでは不十分な例も確認しています）

そこでこの立場からもう一度重力場が保存力場であることを考えようと思ったのですが、
重力場は保存力とされているのにも関わらず、定義域が単連結ではありません。
では、重力場が保存力場であることを説明するにはどのようにしたら良いでしょうか？

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>まさにその質点を囲むような面が単連結でないと考えていました

単連結とはその領域内の任意の閉曲線で囲まれる
曲面が存在すること。つまり、領域内の任意の閉曲線に対し
ストークスの定理の積分が、適当な面を選べば
実行可能であるということです。

不連続な点があるだけでは、単連結は破れません。

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Qrotの計算について

添付した画像の計算方法を教えてください。
途中経過も詳しくご教授いただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

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ベクトルA↑(Ax,Ay,Az)に対してrotを作用させるということは

B↑＝(Bx,By,Bz)=rot(A↑)

Bx=∂Az/∂y-∂Ay/∂z

By=∂Ax/∂z-∂Az/∂x

Bz=∂Ay/∂x-∂Ax/∂y

を求めることです。

問題の2次元ベクトルのrotは面に巣直な方向、すなわちz方向のベクトルを求めることになります。

これは上の演算から自動的に出てきます。v↑(vx,vy,0)とすると

Bx=∂vz/∂y-∂vy/∂z=-∂vy/∂z=-∂(3x-5y)/∂z=0

By=∂vx/∂z-∂vz/∂x=∂vx/∂z=∂(2x-4y)/∂z=0

Bz=∂vy/∂x-∂vx/∂y=∂(3x-5y)/∂x-∂(2x-4y)/∂y=3+4=7

答え

rot(v↑)=(0,0,7)

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Q万有引力は保存力？

１．万有引力が保存則であることを示せ。
テストで出そうと山をはったのですが、これがわかりません。
誰か証明してくれませんか？

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万有引力は距離依存性が 1/r^2 で，
これは 1/r の距離依存性のポテンシャルから導けます．
したがって，「ポテンシャルがあるから保存力」

あるいは，rot(1/r^2) = 0 を示す手もありますね．

acacia7 さん流に力の線積分が経路によらず端の点だけで決まることを
示してもよいわけですが，
「どんな経路をとっても」を言ためには結局 rot(1/r^2) = 0
を示すことになります．

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Q保存力になるための条件

平面内の力の場合、保存力であるための条件を求めたい。４点の座標を持つ、微小な長方形を考え、各頂点は左下から半時計周りにA(x,y),
B(x+Δx,y),C(x,y+Δy),D(x+Δx,y+Δy)。（つまり、AB=DC=Δx,DA=CB=Δyの微笑長方形)
経路A→B→Cに沿った仕事をＷ(1),経路A→D→Cに沿った仕事をＷ(2)と呼ぶこととする。
学術図書出版社の『力学』(植松恒夫)をお持ちの方は、６２ページを見てください。上のAがPのことで、CがP'のことです。

Ｗ(1)=Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)　　←(1)
　　 =FxΔx+FyΔy+(Fyをxで偏微分)ΔxΔy　←(2)
Ｗ(...続きを読む

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(1) の
第二項は Fy(x+Δx,y)Δy
ですよね単位は仕事量なので。

xについての一次までのテイラー展開で

Fy(x+Δx) = Fy(x)+d(Fy(x))/dx *Δx

となるので、(1)に代入すれば良いと思います。

テイラー展開はいつでも使えるようにしておいた方が良いと思います。

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Qポテンシャル、エネルギーって何でしょうか？

大学で電気を勉強しています。ポテンシャル、エネルギーもよく授業などの議論に出てきます。例えば、ある現象を説明するとき単にポテンシャルが低く安定になるように電子が移動したなどといいますが、正直、ポテンシャル、エネルギーがイマイチつかめません。値を計算しろといわれれば計算できますが、何かわかっているようで漠然としています。ぜひ、熱く語っていただける方教えてください。できれば、高校生に分かるくらいの感じで。宜しくお願い致します。

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辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。

運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的（内面）に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギーに変わってから
はじめてその大きさがわかるもので、
ｍｇｈという公式は、測定からわかった
高さとエネルギーの関係を表しているだけで、
実測するためには、運動エネルギーに
変換してやらないといけません。

電界のポテンシャルエネルギーの場合、
その定義は点電荷の運動で表現
されてますよね。暗黙のうちに
運動エネルギーへの変換をしているわけです。

ポテンシャルエネルギーは、必ず
運動エネルギーとの和で書かれて
いて、本によっては記号Hで
ハミルトニアンと書かれていると
思います。
このHが一定というのが、高校の物理で
出てきたエネルギー保存の法則です。

エネルギー保存の法則があるから、
運動が起こっていなくても、そこには
見えないエネルギー、直接測定できない
エネルギーがあると確信がもてるので、
この見えないエネルギーをポテンシャル
エネルギーと言っているんです。

＞ポテンシャルが低く安定になるように電子が移動したなどといいますが、

　運動エネルギーをK、ポテンシャルエネルギーをP
とすると、ラグラジアンLというのが
L＝K-P
と定義されます。L>０になるように全ての
自然法則は働くと言われ、これをオプティマル
（最適化）の原理といいます。

複雑な式も

H＝K＋P
L＝K－P

H　ハミルトニアン
L　ラグラジアン
K　運動エネルギー
P　ポテンシャルエネルギー
（運動エネルギーではない、見えないエネルギー）
の原理で書かれていると分かって式を見ると
全体がよく見えると思います。

辞書でpotentialって引いてみて下さい。
可能性を秘めた、潜在的な能力・・・
とあるはずです。

運動エネルギーに変わる可能性のある
エネルギーで、直接測定できないが
そこに潜在的（内面）に存在する
エネルギー一般のことで、
古典力学ではNo.1の方が言われて
いる位置エネルギーのことです。

自分のしている腕時計の位置エネルギーを
考えると、地上にいるときよりビルの上に
いるときのほうが、位置エネルギーは
大きいはずですが、そんな実感は普通ありません。
自由落下で運動エネルギ...続きを読む

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
（英語）
curly d,　rounded d,　curved d,　partial,　der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
（日本語）
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと（数学、物理学、経済学、工学など）の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

（１）
工学系の私は，式の中では「デル」，単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが，あとは寡聞にして知りません。

（３）
初心者へのお勧めとは，なかなかに難問ですが，ひと通り教えておいて，式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

（４）
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは，あったら私も教えて欲しいです。

（２）
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは，質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

＊すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

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Q重力場とクーロン場が保存力場であることの証明について

重力場やクーロン場が保存力場になるということは一般的には知られていますが、それを証明してみようとおもったのですが、どのように証明できるのかということがわかりません。

一般的にどのようにすればこれを証明することができるでしょうか？

回答お待ちしています。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ええと、それらが距離の２乗に反比例する中心に向かう力の場F=-kr^(-2)（の重ね合わせ）の形であることを認めれば証明できます。Ｎｏ、１のとおりです。保存力場であることをいくつか言い換えます。

保存力場である
＝スカラーポテンシャルｆを持つ（前者のスカラーポテンシャルは通常の高さに酔うる位置エネルギー、後者のスカラーポテンシャルは電位です。）
＝rot演算を行うと０になる。参考；rot(grad)ｆは任意のスカラー場ｆに対してゼロだからです。ｆをスカラーポテンシャルとしてみましょう。

結論
その証明は、
第１の方法
それらの場はスカラーポテンシャルを持つ。実際、位置エネルギーや電位が確かにそれらのスカラーポテンシャルとなっている。
第２の方法
ｒｏｔを計算すると０になる。ゆえに保存力場である。

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Q保存力かどうかの判定と位置エネルギーの求め方

F~=-kxh-kyi-kzj についてこの力が保存力と非保存力のどちらかであるかを、理由をつけて述べなさい。
また保存力であれば位置エネルギーをもとめなさい。ただし~はベクトル、h,i,jはそれぞれｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルとする。
という問題なのですが保存力かどうかの判定は∇×F~=0となれば保存力であることがわかったのですがそこの計算の仕方がいまいちわかりません。また位置エネルギーの求め方もわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

位置エネルギーの定義から

r=(x, y, z), r0=(x0, y0, z0)、E=-∫F・dr(経路は原点からr0まで)

が、原点を基準にした r0 での位置エネルギー。

積分すれば E = (1/2)k|r0|^2

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