痔になりやすい生活習慣とは?

「f(x)=x^2+ax+b とする。∀n∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件を求めよ。」

この問題に対して私は以下のように解答しました。

「(ⅰ)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき
  f(n)=f(2p)=2*2p^2+2ap+b
  f(n)が偶数となるとき bが偶数であることが必要
 (ⅱ)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき
  f(n)=f(2q+1)=2*2q^2+2(a+2)q+a+b+1
  f(n)が偶数となるとき a+b+1が偶数であることが必要
 (ⅰ),(ⅱ)より
  f(n)が∀n∈Z に対して偶数となるとき
  aは奇数、bは偶数であることが必要
 逆にaは奇数、bは偶数 すなわち a=2s+1(s∈Z), b=2t(t∈Z) であるとき
f(x)=x^2+(2s+1)x+2t となり
(a)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき
f(n)=2*2p^2+2p(2s+1)+2t となり f(n)は偶数
 (b)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき
f(n)=2*2q^2+2(2s+3)q+2t+2 となり f(n)は偶数
 となるから f(n)は∀n∈Z に対して偶数となる
 以上よりn∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件は
 aが奇数で、bが偶数であること」

設問に対する証明はこれで良いのでしょうか。


  

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A 回答 (4件)

f(x)=x^2+ax+b とすると、題意からf(1)=1+a+b、f(2)=4+2a+bも2で割り切れなければならない。


1+a+b=k、4+2a+b=m (kとmは整数)より、a=2(m-k)-3、b=2(2k-m+1)であるから、aは奇数、bは偶数でなければならない。

逆に、a=2(m-k)-3、b=2(2k-m+1)の時、f(n)=n^2+an+b=n^2+{2(m-k)-3}*n+2(2k-m+1)=(n^2-3n+2)+2(mn-kn+2k-m)=(n-1)*(n-2)+2(mn-kn+2k-m)。
(n-1)*(n-2)は連続する整数の積から2の倍数、2(mn-kn+2k-m)は当然2の倍数。

以上から、aが奇数、bが偶数である事が必要十分条件である。
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合っていますよ。

take_5さんの回答にあるように必要条件を出す時には、必ずしも一般的なものを代入する必要はないということは、ポイントじゃないですかね。


あとtake_5さんへ
先の問題のレスというか・・が遅れてすいませんね。もう打ち切られて返事できませんでしたけど、あれは勿論質問者へ対してです。「回答に書いてあるように」と書いておいたんですが分かりにくかったですかね。誤解が生じそうな書き方で申し訳ありませんでした。この場を借りさせて頂きますm(-.-)m
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書き込みミス。



>1+a+b=k、4+2a+b=m (kとmは整数)より

       ↓

1+a+b=2k、4+2a+b=2m (kとmは整数)より
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面倒なことするね。


題意を満たすaとbの条件を求めて(=必要条件)、それが十分条件でもある事を示せば簡単なのに。
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