【最大10000ポイント】当たる!!質問投稿キャンペーン!

同一直線上にない3点があるとき、この3点を頂点とする平行四辺形は3つできますよね。
それでは、同一n-2次元空間上にないn点があるとき、このn点を頂点とするn-1次元平行立体はいくつ出来ますか?

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (10件)

ANo5です。

考えたことの途中まで書きます。

1 定義
(1) n次元空間を構成する次元軸を d(1)~d(n)とおきます。
(2) 同一n-1次元空間上にない「n個の点」を頂点とするn-1次元平行立体(以下では[n-1次元平行構造体]ということにします)の頂点の数をN(n)とします。
(3) (2)の条件において出来る[n-1次元平行構造体]の数をP(n)とします。

2 頂点の数 N(n)について:N(n-1)とN(n)との関係式を考えます。
・N(n)は
 N(n-1)の点をd(n-1)軸方向へ平行移動して得られる写像点の数 XとN(n-1)の和で求められます。
 →N(n)=not=2n と考えます([n-1次元平行構造体]のため)。
→[n-1次元平行構造体]であるためには[平行構造体]をさらに新たな軸方向に平行移動して得られる構造体でなければなりません。
・d(n-1)軸はd(1)軸~d(n-2)軸とは次元が異なるので
 X=N(n-1)となります。
・N(n)=2*N(n-1) の関係式が得られます。…(4)
 →(4)を解くと N(n)=2^(n-1) が得られます。…(5)
  (2^(n-1)は「2の(n-1)乗」の意味です。)

・検証:N(3)=2^2=4 平行4辺形の頂点数は4
N(4)=2^3=8 平行6面体の頂点数は8
N(5)=2^4=16 [4次元平行構造体]の頂点数は16
  N(5)の構造体が 4次元平行構造体であるためには
     N(5)の構造体は
     N(4)の構造体(平行6面体)の各頂点をd(4)軸方向に平行移動して得られる構造体でなければならない。ゆえにN(5)=2*N(4)=16

3 [n-1次元平行構造体]の数P(n)
・n=4 の場合から考えます。
 ・同一2次元空間(平面)上にない4点を頂点とする3次元平行構造体(立体)は明らかに平行6面体である。
 ・P(3)=3
 ・P(4)はN(3),N(4),P(3)の関係式で表すことが出来ると予想します。
 ・P(4)は8頂点から4点を選ぶ組み合わせで同一平面上にない場合の組み合わせ件数との関係式でも記述できると予想するのですが、行き詰まっています。
とりあえずここまで考えてみたのですが…考え方おかしいでしょうか。

この回答への補足

本当に詳しくありがとうございます。
すみません。正直高1レベルではよくわかりません。質問しといて本当にすみません。
2でですが、No.4、7の33550336さんはP(n)は2nだといっていますよね。確かにN(3)=2^2=4などからあっている感じはしますが、自分ではどちらが正しいのかわからないので、誰かかわりに意見を言ってくれないでしょうか。どこが違うのかもよろしくお願いします。
3もなんとなくわかるんですが、うまくいくかはわからないです。

補足日時:2008/07/26 17:21
    • good
    • 0

ANo4です。


まず問題を解く前に「n-1次元平行立体」の定義をはっきりさせておくべきでしたね。
平行立体の定義をANo9さんのようにした場合、頂点の数は2^(n-1)となります。
そして自分の回答では「平行立体」というものを明確に定義せずに使用しており、頂点の数を出す根拠やその他もろもろの議論が極めて曖昧なものになってますね…

そしてn=4の場合でもあなたのおっしゃる通り、どの3点も同一面内に属さない場合が確かにあります。

以上、自分の浅学さを痛感させられました…
    • good
    • 0

何度もすいません。



以下、n=4の場合に限って考えます。
このとき、最初に与えられた4点を頂点に持つ平行6面体は、
与えられた4点のうち3点を共有する面が少なくとも1つ存在します。
つまり、選んだ3個の点をどの面も通らない場合はありえないです。
もしこれがあり得たとする。
面を1つとったとき、その上には与えられた4点のうち、2点しか存在しない。
この2点と同じ面上にある頂点はあと4点しかないから、
残りの2点の位置が決まってしまうが、このとき、4点は同一平面上に並ぶ。

なので選んだ3点をどの面も通らない場合を考える必要はありません。
ですが、先ほどの回答は重複を考えていませんでした…

n=4の場合に限って漸化式を使わずに考えると、
4(3点を選ぶ)*3(もう1点を選び面を確定)
この12通りの選び方に対し、残りの1点がどの頂点と結ばれるかを考えて場合分けします。

(1)新たに選んだ1点と結ぶ場合
選んだ3点以外はどの3点も同じ面上にないので重複はなし。

(2)新たに選んだ1点の向かい側の点と結ぶ場合
もとの4点のうち、結んだ点を含む3点はすべて同じ面内に存在。
よってこの平行立体は3回数えることになる。

(3)その他の点と結ぶ場合
同様にして考えると2回数えることになることがわかる。

以上の考察から
12/3+12/2*2+12=28個ではないでしょうか?

一般のnに関してはまた考えてみます。

この回答への補足

   a_______________b
  /         / |
  d-----------c |
  |         | |
  |         | | f
  |         | /
  h-----------/g
何度もありがとうございます。
下のような立方体で(見にくくてすみません)、4点がacfhのとき、同一平面上ではなくて、各平面2つずつ点を持つようにならないですか?
ほかのところはあってるような気がします。

補足日時:2008/07/25 13:54
    • good
    • 0

ANo4です。


すいません、ごもっともです。

まず補足から。
頂点の数は
2(n-1)n/(n-1)=2n
で求まりますよね。
そして「したがって」以降の考察は不要ですね。すいません。

解答ですが、n-1個の点を選んで平行な面をひとつ定めたあと、
残りの1点がどの面と結ばれるかでさらにn-1通りありますね。
だから漸化式は
P(n)=n*P(n-1)*(n-1)
となるのでしょうか。
よって、
P(n)=(n!)((n-1)!)/4
ですかね…。
まだ数え漏れがあるかもしれませんが。
ちなみにこれが正しければP(4)=36となりますね。

この回答への補足

まず、>n-1個の点を選んで平行な面をひとつ定めたあと
については、n-1個の点をどの面も通らない場合がありますよね。(n=4の場合は下に書いたような感じで)
ほかの事は後で考えてから書きます。

補足日時:2008/07/24 08:06
    • good
    • 0

ANo5です。



先の回答の最後の3行言葉足らずでした。

n-1次元空間上の(同一)n-2次元空間上にないn個の頂点を考えたとき、n個の各点を基点とするベクトルは理論上考えられますので、その総和により求められる点もn個できると推測できます。

(同一)を追加、「てにをは」を訂正しました。

この回答への補足

皆さん、まずは4点3次元の場合について何個になるか意見を言ってもらえるとうれしいです。

補足日時:2008/07/24 06:21
    • good
    • 0

シロウトですので間違っているかもしれません。



2次元空間上の1直線上にない3点を頂点とする平行四辺形の場合で考えます。

3点をA、B、Cとします。

Aを基点とするベクトル(→と表記します)を考えると
→AB と→ACの総和によって平行四辺形の1点が定まります。

同様にB、Cを基点とするベクトルをそれぞれに考えると
二次元空間上の1直線状にない3点では3個の平行四辺形ができます。

3次元空間上の同一平面上にない4点の場合も4つの頂点からのベクトルの総和でもって異なる平行6面体ができます。

4次元空間以上ではにわかにイメージできないのですが、同様のロジックでいけるのではないでしょうか。

n-1次元空間上のn-2次元空間上にないn個の頂点を考えたとき
n個の各点を基点とするベクトルは理論上考えられますので、その総和
により求められる点もn個できるとの推測できます。

この回答への補足

ベクトルはあまりよくわからないのですが、多分3次元以上だとその3つのベクトルが一辺になっていなくてもいいのではないのでしょうか?
それから、3次元だともっと多いと思います

補足日時:2008/07/24 06:11
    • good
    • 0

同一n-2次元空間上にないn点があるとき、このn点を頂点とするn-1次元平行立体の個数をP(n)とする。


このような平行立体の面の次元はn-2で
その面の個数は2n-2個
またn-2次元の面にはn個の頂点がなければならない。(面が定まらないため)
さらに、どの頂点も平行な2対の面のいずれかに含まれていなければならない。
このことから頂点の個数は2nとわかる。
したがって、平行立体の任意のn-1個の頂点を含む平行立体の面が存在。

さて、本題だがn個の点からn-1個の点の選び方はn通り。
これらの点を含むn-1次元の超平面はただ一つに決まる。
また、これらの点を頂点とする面の作り方はP(n-1)通りある。
よって、P(n)=n*P(n-1)
が成立。
P(3)=3より
P(n)=n!/2

この回答への補足

>このことから頂点の個数は2nとわかる。
>したがって、平行立体の任意のn-1個の頂点を含む平行立体の面が
>存在。
これがどういうことかよくわかりません。

>さて、本題だがn個の点からn-1個の点の選び方はn通り。
>これらの点を含むn-1次元の超平面はただ一つに決まる。
>また、これらの点を頂点とする面の作り方はP(n-1)通りある。
>よって、P(n)=n*P(n-1)
P(n-1)通りの面があってもそれを持つ平行立体ってひとつじゃないですよね。

それから、n=4だと12になるんですが、実際もっとありますよね。
1平面に3個の点が入っている場合、
4(n点からn-1点を選ぶ)*3(n-1点で作る面の数)*4(その面と残った点を使って出来る平行立体の数)-重複(0+6+9+12=27?)
で、
どの平面にも2つしか点が入っていない場合、
同一平面上に4点はないので、2通り
よって
48-27+2=23?
これであっているかはわかりませんが、12よりは多いと思います。

補足日時:2008/07/24 05:12
    • good
    • 0

#1です.


あー,記号で混乱した.間違ってるけど
(n+1)個といおうとしたんだった.

で,あーなるほど>#2
確かに,一次変換して
原点と標準ベクトルだけ考えれば十分ですが
重なりがあるのを忘れてました.
次元に関して漸化式立てられないでしょうか


> 一次独立なn個のベクトルが平行n面体を構築するというのがわかりません
たとえば,e1,e2,...,enをR^nの基底として
k1e1+k2e2+・・・+knen (k1+k2+・・・+kn<=1,ki>=0)
で表される図形がちょうど半分になるものが
当該図形になるわけですよね

この回答への補足

4点のときは何個になるでしょうか?

補足日時:2008/07/23 22:30
    • good
    • 0

n次元だから「平行 2n 面体」だなぁと思いつつ, 実際にはそんなに簡単ではないと思います>#1.


というか私も最初は「n通り」と思ったんですが, よく問題文を読むと単に「頂点」としか書いてありません. つまり, 3次元で (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) の 4点が与えられたときに単位立方体も許されることになってしまいます. なので, もっと多くなるはずです. 平面上だとたまたま「3点のうち 2点は隣接しなければならない」「3点目は隣接する 2点の一方と隣接しなければならない」という条件が出てくるので簡単なんですが, 3次元以上ではとても面倒です.
問題の条件から一般性を失うことなく n+1 点を (0, 0, ..., 0), (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) とおいていいはずなんですが.... 単純に考えるとどうしても同じものを複数回数えてしまいそうなので, まだ見えてないです.
    • good
    • 0

記号の使い方が・・・まぎらわしい



R^nを全体空間とする.
(n+1)点が同一の(n-1)部分空間にないとき,
これら(n+1)点を頂点とする平行n面体はいくつあるか

(n+1)個の点から1点を選ぶことで
一次独立なn個のベクトルが得られる(これが従属するということが
(n+1)点が同一の(n-1)部分空間にあることと同値).
これらが平行n面体を構築する.
よってn個.

この回答への補足

あまりよくわからないのですが、その答えだと3点のとき2つになるので違うと思うんですが。
その問題だとnがn+1になっていて1個増えてますよね。(それはいいんですが。)

一次独立なn個のベクトルが平行n面体を構築するというのがわかりません。
それから、平行n面体ではなくn次元平行立体だと思います。

補足日時:2008/07/23 21:05
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q3点が一直線上である証明 

こんにちは。△ABCにおいて辺ABを1:2に内分する点をP,辺BCを4:1に外分する点をQ,辺CAを1:2に内分する点をRとすると,3点P,Q,Rは同一直線上にあることを示しなさい。
位置ベクトルを使って解いてみました。
この問題は、メネラウスの定理が成り立つので3点P,Q,Rは同一直線上にあると言っていいでしょうか。
 4/1×1/2×1/2=1が成り立つので,メネラウスの定理より3点P,Q,Rは同一直線上にある。
ということです。

Aベストアンサー

どこまでを既知とするかでしょう。出題者の意図が、どこにあるかによると思われます。
ところで、貴兄はメラネウスの定理(正しくは、メラネウスの定理の逆)を証明できますか?これが分からなければ、どこまで理解できているかちょっと心配ですが。

ヒポクラテスの三日月は、三平方の定理を使えば即座に解決されますが、これを小学生に与えたとき、彼が三平方の定理を使って解決したとしても、知識として(定理の暗記)それを使ったのであれば、確かに定理の活用と言う点では素晴らしいが、私は、どこか違和感を感じます。彼が、三平方の定理を自分で説明できるのであれば、言うことなしですが。

Q3点が「同一直線上」と「一直線上」の違い

 いつもお世話になっております。

 数学の教科書や問題集で、

 3点A、B、Cが
 1.直線上にある
 2.一直線上にある
 3.同一直線上にある

 という表現を見かけるのですが、
 1の場合は、3点A、B、Cが同じ直線上にあるとは限らない(状況による)
と思うのですが、2と3は何か違いがあるのでしょうか。
 細かい内容で申し訳ございませんが、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 直線が切れていたら、半直線といいます。結局、2も3も同じ意味です。おそらく、2は直線が1本しかない、3はいくつかあってという意味合いだと思います。

Q3点(-4,2),(0,a),(8,-1)が同一直線上にあるときのaの値の求め方を教えてください!

3点(-4,2),(0,a),(8,-1)が同一直線上にあるときのaの値の求め方を教えてください!

Aベストアンサー

別解

(-4,2),(0,a),(8,-1)が同一直線上にあるのはこの直線が一次関数上にある時なので、

2=-4α+β
-1=8α+β

の連立方程式を解き、

α =-1/4
β =1

つまり、y=-1/4 x +1 に(0,a)を代入して、

a=1

Q【一次関数】一直線に並ぶ3点について

教科書を読んでも参考書を読んでも良く分からないので質問させて頂きました。

問. 3点A(-6,7),B(-2,-1),C(2,m)が一直線上に並んでいるとき,次の問いに答えなさい。

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めなさい。
(2) mの値を求めなさい。

考えてみた結果、(1)の直線の式は、
「y=-2ⅹ+5」となりましたがこの答えは合っているのでしょうか?
(1)、(2)の問題の考え方と答えを教えてください。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

AとBの値をy=ax+bに代入します
A 7=-6a+b
B -1=-2a+b
2つの式を引き算してbを消去ります

7=-6a+b
-)-1=-2a+b
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
8=-4a
-2=a
これでaの値が判明(y=-2x+bになる)
次にB点の値をこれにまた代入(Aでも良いけど)

-1=-2×-2+b
-b=4+1
b=-5

で式が y=2x-5になるわけです
で、C(2,m)ですが
2がxの値、mがyの値ですから、わかっているxだけを代入します
y=2×2-5
y=4-5
y=-1

だからC(2,-1)
つまりm=-1

となるのではないでしょうか
分かりにくくてすみません

Q平行四辺形 3点が一直線上にあることの証明

この問題を解く手順を教えてください。
質問者は高2です。

平行四辺形ABCDにおいて辺CDを2:3に内分する点をE,
対角線BDを5:3に内分する点をFとする。
3点A,F,Eは一直線上にあることを証明せよ。

Aベストアンサー

AからEを通り、底辺CDの延長線と交わる点をGとし、”メネラウスの定理の逆”を使えば証明できます。

メネラウスの定理は中学生の数学の教科書に載っていると思います。

FD/BF × EC/DE × BG/CG = 1 が成り立つことを証明し、EFGが一直線上にあることを証明する。

(一応蛇足ながら、△ABGと△ECGは、5:2の相似。)

Gは、元々AEを通る直線上の点として定義したのですから、上が証明できれば、AEFが一直線上であることは証明できます。

ご参考に。


人気Q&Aランキング