出産前後の痔にはご注意!

「 (1) √3は無理数であることを証明せよ
  (2) √2および√6が無理数であることは用いてよい
       a+√2b+√3c=0
を満たす有理数a,b,cは
       a=0,b=0,c=0
に限ることを示せ               」

私はこの設問に対し、

(1) √3が有理数であると仮定すると
 √3=a/b (a,b∈Z a,bは互いに素) とおける
  ここで a=√3b 両辺を二乗して a^2=3b^2 ・・・(1)
ゆえにa^2は3の倍数であり このときaも3の倍数であることが必要
したがって a=3m (m∈Z) とおいてこれを(1)へ代入すると
b^2=3m^2
よってb^2は3の倍数であり このときbも3の倍数であることが必要
  したがって b=3n (n∈Z) とおける
このとき a,b は3を共通約数にもつから不合理
  したがって√3は無理数である

(2) a=-√2b-√3c 両辺を二乗して a^2=2b^2+2√6bc+3c^2
  a^2-2b^2-3c^2-2bc√6=0
a^2-2b^2-3c^2,2bcは有理数で√6は無理数であるから
  a^2-2b^2-3c^2=0,2bc=0 である ・・・

(1)は証明できたのですが
(2)の証明が上手く出来ません。

どなたか(2)の解法について回答宜しくお願いします。


  
  

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A 回答 (9件)

(2) a=-√2b-√3c 両辺を二乗して a^2=2b^2+2√6bc+3c^2


  a^2-2b^2-3c^2-2bc√6=0
a^2-2b^2-3c^2,2bcは有理数で√6は無理数であるから (*)
  a^2-2b^2-3c^2=0,2bc=0 である (**) ・・・

上記の論法で(*)から(**)が得られる理由は何ですか?

論法の根拠をはっきり自覚さえしていれば
2bc=0より、b=0またはc=0なので場合分けの結果として
a=0,b=0,c=0 を得ることは容易だと思います。
# 但し、√2も無理数であることは最初から用いてよいとしてですが、、、

この回答への補足

私の(2)の論法は明らかに誤りでした
「a^2-2b^2-3c^2-2bc√6=0
a^2-2b^2-3c^2,2bcは有理数で√6は無理数であるから
a^2-2b^2-3c^2=0,2bc=0 である」というのは
「a+√2b+√3c=0
a,b,cは有理数で√2,√3は無理数であるから
a=0,b=0,c=0 である」と言っているようなものですね…

補足日時:2008/07/23 21:15
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> 私の(2)の論法は明らかに誤りでした


> 「a^2-2b^2-3c^2-2bc√6=0
> a^2-2b^2-3c^2,2bcは有理数で√6は無理数であるから
> a^2-2b^2-3c^2=0,2bc=0 である」というのは
> 「a+√2b+√3c=0
> a,b,cは有理数で√2,√3は無理数であるから
> a=0,b=0,c=0 である」と言っているようなものですね…
そうなんですか?てっきり、
a^2-2b^2-3c^2-2bc√6=0 のとき bc≠0 なら √6 = (a^2-2b^2-3c^2)/(2bc) で矛盾だから bc=0, a^2-2b^2-3c^2=0 ということだと思ったのですが。で、
b=0, c≠0 ならば a^2 - 3c^2 = (a - √3 c) (a + √3 c) = 0, √3 = a/c or -a/c
b≠0, c=0 ならば a^2 - 2b^2 = (a - √2 b) (a + √2 b) = 0, √2 = a/b or -a/b
となってしまうので、a = b = c = 0 ということでいいのではないでしょうか。

この回答への補足

なるほど私の解答の道筋は正しかったのですね。
ただ私はANo.3様がおっしゃられたように
論法の根拠をはっきり自覚していませんでした
その結果、自信を持ってを解答を続けることが出来なかったのです。

補足日時:2008/07/23 22:27
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有理数分の有理数は有理数です(笑)。

ホントぼけてました。暴走ですね。(汗)
なので2,4の回答は参考にしてください。

今日はもう寝ますね。
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10年くらい前の京大の問題。

書き込むのが面倒なんで、URLを貼っとく。
真ん中より下の「問題、背理法による証明の練習」のところにある。。。。笑

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/sqrt2001. …
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?


Q は体をなすはずですが>#5.
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すみません。

完全に回答2,4は間違えてますね。申し訳ないです。有理数分の有理数が無理数になることだってありますm(ー.ー)m

この回答への補足

p,q∈Qのとき、p/qが無理数になることもあるのですか。
では、私のAN0.2補足の a=0であることの帰謬法による証明も
明らかに誤りですね…

補足日時:2008/07/23 21:39
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自分の回答で符号少し間違えてますね・・すいません。



補足として、
x√2(or√3)において(xは有理数)、これが有理数なら両辺をxで割ると左辺と右辺で有理数と無理数(すでに示したor条件から)で矛盾。x√2は無理数。
など使えると思います。
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えーとですね、まず背理法でa=0を示す。

条件と(1)から変形せずにできますよね?

それを示したら√2b-√3c=0でb=0,c=0を示すことと同値。
変形してこのとき√6=3c/bとして左辺は無理数で、右辺は有理数(bが0でないことを仮定しておく)よって矛盾。こんな感じでどうでしょうか。

この回答への補足

背理法でa=0を示すところについてですが
「a≠0と仮定すると
a+√2b+√3c=0 の両辺をaで割って 1+√2(b/a)+√3(c/a)=0
√2(b/a)+√3(c/a)=-1 …(*)
a,b,c∈Q だから b/a,c/a∈Q
よって (*) は不合理
したがってa=0」
この証明は正しいでしょうか

補足日時:2008/07/23 21:24
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>(2)の証明が上手く出来ません。



いったい何処でつまづいているのかわかりません。

>a^2-2b^2-3c^2=0,2bc=0 である ・・・

の「…」部分を補足にどうぞ。
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