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ハイゼンベルグ表示とシュレディンガー表示それぞれから,一次元調和振動子のエネルギー準位を求めたいのですが,ハイゼンベルグ表示から求める方法がわかりません.
シュレディンガー表示から求める方法はどの教科書にもあるのですが・・・

よろしくお願いします.

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A 回答 (4件)

生成消滅演算子は演算子が時間に依存しないシュレーディンガー表示ではありませんか。

それに生成消滅演算子でエネルギー準位を求めるのはおそらくディラックが後にやったことだと思います。ハイゼンベルグ表示なら演算子Xが(プランク定数を1としたとき)

 dX/dt = i[H,X] 

に従うということから出発しなければならないはずで...。ランダウ=リフシッツ「量子力学」にはハイゼンベルグの元のやり方が書いてあります。
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考え方から丁寧に勉強されたいなら、古典ですが朝永振一郎 「量子力学」のI巻の「マトリックス力学の誕生」の説明のなかの例示で


d^2X/dt^2 +(2πν)^2・X + λX^2 =0
の説明があります。この話はすぐにλ=0に切り替えた条件での説明になります。つまり調和振動子です。量子力学だけでなく、古典論との対応が丁寧に書いてあり、その部分だけつまみ食いして読むには向いていません。前後も読まないといけませんが、ご参考まで。

答えはNo1さんの言われているのが本格的なのでしょうが、とにかく手っ取り早く、というのですと
H=(1/2m)p^2 +cq^2

(2πν)^2 = 2c/m, p=(mhν)^(1/2)P, q=(hν/2c)^(1/2)Q
とおいて
H=(1/2)(P^2 + Q^2)hν...(1)
と書き直します。交換関係
qp-pq=ih/2π=(m(hν)^2/2c)^(1/2)=(h/2π)(QP-PQ)
から、
QP-PQ=i...(2)
となります。(2)を満たすP, Qからなる(1)の固有値を見つけよ、ということです。
Amn(Aという行列のmn成分)=0(n≠m+1), =αm^(1/2) (n=m+1)
Amn*=0(m≠n+1), =α*n^(1/2) (m=n+1)
となる行列を考えます。ここでαは絶対値が1の複素数でα*α=1です。
AA*はA11=1, A22=2, ...Ann=n...の対角行列、A*AはA11=0, A11=1, A22=2, ...Ann=n-1...の対角行列になります。
Q=(A+A*)/√2, P=i(A-A*)/√2...(3)
とすれば、QP-PQ=iは満たされます。
この時(1/2)(AA*+A*A)=(1/2)(P^2+Q^2)=Eをみれば、Eは対角行列でその成分はE11=1/2, E22=3/2, E33=5/2, ...Enn=(2n-1)/2...となりますが、これらが(1/2)(P^2+Q^2)の固有値であることは明らかです。
従って(1)からエネルギーレベルとしては
E={(2n-1)/2}hν...(4)
となります。
あまりできのよくない説明ですみませんが...
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我ながら分かりにくいので追記します。

x,pは時刻ゼロのもので、a^daggerやらaと書いているのも時刻ゼロのものです。
a^dagger(t)=exp(iHt)a^dagger=exp(-iHt)=a^dagger+it[H,a^dagger]+...
となるわけですが、[H,a^dagger]=ca^daggerなので、最右辺はexp(ict)a^daggerとなるということです。
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こんにちは



ここには数式を書くのが大変なのでエッセンスのみを書きます。

一次元調和振動子のハミルトニアンの場合、[H,x]=ip(?)や[H,p]=-ixとかなんとか計算できるはずです(私は定数やら符号やらは疎いので微妙に違うかも)。

で、ここで昇降演算子を導入します。
ad hocにx+ip, x-ipをもってきてもいいし、もしくは(x,p)^tに対するf(z)=[H,z]という線形演算子の2*2行列表現を対角化してもいいし(こちらは実はリー代数と関係して深い意味がある)、とにかく昇降演算子a^dagger=x+ip, a=x-ipを定義します(逆だったかも)。

そうすると、 [H,a+]=ca+みたいになるから(cは定数)、exp p expみたいなんとかが計算できて、なんだかんだで解けると。

http://www.a.phys.nagoya-u.ac.jp/~taka/lectures/ …
の(7.6.280)-(7.6.281)みたいな感じ。
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