物理におけるベクトル問題

大学1年(高校物理履修者)の力学の問題。

ベクトルA=2i+5jとベクトルB=5i-3jについて、A+B,A-B,A・B,A×Bを計算せよ。

今、前期期末テストの勉強中なのですが、過去問でこのような問題が出たそうです。
解答がないので、教えてほしいです。


この足し算、引き算は普通に数学の要領で、

A+B=7i+2j
A-B=-3i+2j

でいいのですか？物理なのに、こんな答え要求するんですかね？

あと、内積と掛け算の違いはなんですか？


A・B=10|i|^2+19i・j-15|j|^2
A×B=10|i|^2+19ij-15|j|^2

内積の点有り無しの違いですか？


それとも根本的に考え方が違う問題なのでしょうか？
こんな問題、授業中には全く扱っていないので、苦戦してます。

No.6 回答者： noname#66248 回答日時： 2008/07/31 09:41

> 下の２方は、友達の方に同意見のようですが・・・

> 結局どちらが正しいのでしょう？
あなたはどうお考えですか？

ベクトル積の定義を基に、先ずご自身で考え、正しいと思う方を採用してください。

No.5 回答者： syowaman 回答日時： 2008/07/29 01:02

＃４の方と友人の言ってる方で正しいです。

Ａ・Ｂ＝－５　　　　スカラー積
Ａ×Ｂ＝－３１ｋ　　ベクトル積

になります。
参考までに、式展開すると、
１０｜ｉ｜＾２　－　６ｉ・ｊ　＋　２５ｊ・ｉ　－　１５｜ｊ｜＾２　　（１）
となります。

スカラー積の場合、ｉ・ｊ＝ｊ・ｋ＝ｋ・ｉ＝ｊ・ｉ＝ｋ・ｊ＝ｉ・ｋ＝０
ｉ・ｉ＝ｊ・ｊ＝ｋ・ｋ＝１

ベクトル積の場合は、ｉ×ｊ＝ｋ、ｊ×ｋ＝ｉ、ｋ×ｉ＝ｊ、ｊ×ｉ＝－ｋ、ｋ×ｊ＝－ｉ、ｉ×ｋ＝－ｊ
ｉ×ｉ＝ｊ×ｊ＝ｋ×ｋ＝０　　

です。これらを（１）に入れれば、それぞれさきほど示した通りの値が出ます。　

基本的には、スカラー積は量を示すので数字のみが、ベクトル積は方向も示すので、方向成分（ベクトル）が解につきます。

No.4 回答者： noname#66248 回答日時： 2008/07/28 09:04

先ず、A-B が違います。

(2i+5j)-(5i-3j)=-3i+8j
です。

次に、掛け算（外積）は、友達の言っているとおりです。
用心しなければならないのは、
i×j=k
j×i=-k
となることです。

この回答への補足

あ、引き算間違えました。
友達の方が正しいのですか？

ベクトル積の方は、－３１ｋの打ち間違いでした。

補足日時：2008/07/30 02:46

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/28 02:03

三たび登場。

＞＞＞
友達が、
A・B=(2i+5j)・(5i-3j)=10|i|^2+19i・j-15|j|^2=10-15=-5
A×B=(2i+5j)×(5i-3j)=10i×i-6i×j+25j×i-15j×j=-6-25=-31
だと言い張るのですが、どっちが正しいのでしょうか。

私が正しいです。
式の展開とは、別物です。
あくまでも、Ｘ成分、Ｙ成分、Ｚ成分で考えます。



＞＞＞
その人によると、
何にも説明してないけど、i, j, k ってのはx, y, z 軸方向の単位ベクトルの事で、この場合だと長さは１。

その通りです。



＞＞＞
なので、i・i = 1　　i・j = 0　　のように、同じなら１、違ったら0、

はい。それは合っています。
なぜならば、
ｉ・ｉ　＝　（１，０，０）・（１，０，０）
　＝　１×１　＋　０×０　＋　０×０
　＝　１
ｊ・ｊ　＝　（０，１，０）・（０，１，０）
　＝　０×０　＋　１×１　＋　０×０
　＝　１
ｋ・ｋ　も同様です。

ｉ・ｋ　＝　（１，０，０）・（０，０，１）
　＝　１×０　＋　０×０　＋　０×１
　＝　０
計算をせずとも、ｉ、ｊ、ｋはお互いに垂直なので、内積はゼロです。



＞＞＞
なので、　A・B = -5　です。

違います。
Ａ・Ｂ　＝　ａx・ｂx　＋　ａy・ｂy
　＝　２×５　＋　５×３



＞＞＞
A×B ってのはベクトルの外積（クロスプロダクト）。
結果もベクトルです。

三次元ならば三元ベクトル、
二次元（ｚ軸やｋは無し）ならばスカラーです。



＞＞＞
i×j = j×k = k×i = 1
j×i = k×j = i× k= -1
i×i = j×j = k×k = 0
です。

そうです。



＞＞＞
定義（覚え方）は、並び順が
x -> y
y -> z
z -> x
のようなときに+1、逆のときに-1です。

そうです。



＞＞＞
なので、
A×B = (2i+5j)×(5i-3j)
= -6k -25k
= -31k
だというんですけど、どうなんでしょう。

違います。
前回回答の通りです。


以下は、ご参考。（同じ式が載っているサイトを探しました。）

http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Poplar/2391 …

http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/restudyV …


では、これにて退散・・・・・

この回答への補足

下の２方は、友達の方に同意見のようですが・・・

結局どちらが正しいのでしょう？
混乱してきました。

補足日時：2008/07/30 02:48

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/27 23:52

＞＞＞だとすると、A・B=25,A×B=-19ということですか？

人間電卓もやらないといけませんか？

再掲

Ａ・Ｂ　＝　ａx・ｂx　＋　ａy・ｂy
Ａ×Ｂ　＝　ａx・ｂy　－　ａyｂx

となります。
あとは、ａx、ａy、ｂx、ｂyに、それぞれ２，５，５，３を代入して計算するのみです。
-------------------------------------
Ａ・Ｂ　＝　２・５　＋　５・３
Ａ×Ｂ　＝　２・３　－　５・５
合いましたね。

この回答への補足

友達が、

A・B=(2i+5j)・(5i-3j)=10|i|^2+19i・j-15|j|^2=10-15=-5

A×B=(2i+5j)×(5i-3j)=10i×i-6i×j+25j×i-15j×j=-6-25=-31

だと言い張るのですが、どっちが正しいのでしょうか。

その人によると、

何にも説明してないけど、i, j, k ってのはx, y, z 軸方向の単位ベクトルの事で、この場合だと長さは１。

なので、
i・i = 1
i・j = 0
のように、同じなら１、違ったら0、

なので、

A・B = -5

です。

A×B ってのはベクトルの外積（クロスプロダクト）。
結果もベクトルです。

i×j = j×k = k×i = 1
j×i = k×j = i× k= -1
i×i = j×j = k×k = 0

です。
定義（覚え方）は、並び順が

x -> y
y -> z
z -> x

のようなときに+1、逆のときに-1です。
なので、

A×B = (2i+5j)×(5i-3j)
= -6k -25k
= -31k

だというんですけど、どうなんでしょう。

補足日時：2008/07/28 00:48

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2008/07/27 22:16

こんばんは。

高校のとき、ベクトルを成分で表すことを習ったかと思います。

ベクトルA=2i+5j　は、（２，５）のことです。
ベクトルB=5i-3j　は、（５，３）のことです。


＞＞＞
この足し算、引き算は普通に数学の要領で、
A+B=7i+2j
A-B=-3i+2j
でいいのですか？

そのとおりです。


＞＞＞
あと、内積と掛け算の違いはなんですか？
内積の点有り無しの違いですか？

ありゃ。
「×」を小学校で習う掛け算の記号と同じだと誤解されていますね。

Ａ・Ｂ　は内積です。（「スカラー積」とも呼ばれます。）
Ａ×Ｂ　は外積です。（「ベクトル積」とか「クロス積」とも呼ばれます。）

ベクトル同士の掛け算で「×」と書いてあれば、それは外積のことです。


Ａの成分を（ａx，ａy，ａz）、Ｂの成分を（ｂx，ｂy，ｂz）と置くと、

Ａ・Ｂ　＝　ａx・ｂx　＋　ａy・ｂy　＋　ａy・ｂy
　という数（スカラー）

Ａ×Ｂ　＝　（ａy・ｂz－ａz・ｂy，ａz・ｂx－ａx・ｂz，ａx・ｂy－ａyｂx）
　というベクトル

です。

この問題の場合は、ｚ座標がないので、

Ａ・Ｂ　＝　ａx・ｂx　＋　ａy・ｂy
Ａ×Ｂ　＝　ａx・ｂy　－　ａyｂx

となります。
あとは、ａx、ａy、ｂx、ｂyに、それぞれ２，５，５，３を代入して計算するのみです。

（二次元の場合は、どうせ外積のＸ成分とＹ成分がゼロになるので、ベクトルにせず、Ｚ成分だけを外積とします。）

この回答への補足

掛け算ではなく、ベクトル積なんですね!!

だとすると、A・B=25,A×B=-19ということですか？

補足日時：2008/07/27 23:04