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逆写像の求め方

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  • 質問者：redhat_001
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

以下の逆写像を求めなさい。
定義域と値域はどちらも実数です。
１．f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか？
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2？で宜しいでしょうか？
２．f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの３乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。。すみません、逆写像の質問ではなくて数学の基礎なのかも知れませんが、ご存知の方いらっしゃったら教えて下さい。
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

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A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： sanori
  • 回答日時：

こんにちは。



＞＞＞
１．f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか？
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2？で宜しいでしょうか？

それでいいです。
逆関数です。


＞＞＞
２．f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの３乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√（ｎ＋２）　と書けばよいです。実数のみですからね。
（ｎ＋２）^(1/3)　とも書けます。
です。


＞＞＞
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

そうですね。
関数だったら、そうなります。
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この回答へのお礼

理解出来ました。
回答ありがとうございました。

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お礼日時：2008/07/28 14:50

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Q逆写像について

逆写像について質問です。
教科書で定義を見てもいまいち理解できません。
具体的な例を挙げます。

いま、A={a,b,c,d,e}とし、AからAへの写像fを
f={(a,c),(b,a),(c,d),(d,b),(e,e)}
とするとf^(-1)の値はどうなるか？

自分が考えたのは、単にそのまま逆にして
f^(-1)={(a,b),(b,d),(c,a),(d,c),(e,e)}
となるのではないかと思ったのですが、これで合っていますでしょうか？
逆写像の考え方等どなたか詳しい方は教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}
を
f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの２つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}
を
f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(-1)(d)はない
となって、f(-1)は定義できません。
これは、fが単射ではあるが、全射ではないからです。

しかし、単射ではあるが、全射ではない写像f:X→Yに関して、
f(-1)の定義域をf(X)に限定すれば逆写像がちゃんと定義できます。

また、f(-1)の逆写像はもとのfになります。

集合XとYの間に全単射f:X→Yが定義できるときにXとYは対等といって、
X～Yなどと書きます。XとYが有限集合なら、XとYの要素の個数が等しいときのみ可能です。

XとYが無限集合でも、たとえば、
X：自然数全体の集合、Y:偶数全体の集合
として、f(n)=2nと定義すると、fは全単射で、X～Yであり、
f(-1)(2n)=nで逆写像はちゃんと定義できます。
すなわち、XもYも無限の度合いが同じということです。

また、X:自然数全体の集合、Y：有理数全体の集合
としても全単射f:X→Yがちゃんと定義でき、X～Yです。
すなわち、有理数全体の集合は１、２、３、・・・と番号付けを
することができます。
（これは最初は不思議で、ちょっと難しいですが、数学者カントール
の考えた方法で、本当です。）

しかし、X：自然数全体の集合、Y：実数全体の集合とすると、
全単射f:X→Yは定義できないので、X～Yではありません。
すなわち、実数全体の集合は無限の度合いが自然数全体の集合より
高いということで、１、２、３、・・・と番号を付けてすべてを数
え上げることはできません。

逆写像を考えるときは、定義域、値域をしっかり念頭に置くことが
肝心です。

どのレベルの方かわからないので、いろいろ書いてしまいました。
（ほとんど集合の教科書に書いてあると思いますが。）

定義は
写像f:X→Yの逆写像f(-1):Y→Xとは、y∈Yに対してf(x)=yとなるx∈X
を対応させる規則のことですね。

これはfが全単射でなくてはちゃんと定義できません。

たとえば
f:{a,b,c}→{a,b,c}
を
f(a)=a
f(b)=a
f(c)=b
などと定義すると、
f(-1)(a)はaとbの２つ
f(-1)(b)=c
f(-1)(c)はない
などとなって、f(-1)が定義できません。
これは、fが単射でも全射でもないからです。

また、
f:{a,b,c}→{a,b,c,d}
を
f(a)=a
f(b)=b
f(c)=c
と定義すると、
f(-1)(a)=a
f(-1)(b)=b
f(-1)(c)=c
f(...続きを読む

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Q逆像の問題

関数f(x)＝1/X^2 を考える。(Ｘは実数で0ではない)

E＝【1,2】の原像f(E)を求めよ

E＝【1,4】の逆像f^-1(H)を求めよ

という二つの問題の解答と、答えの導か方について教えてください。

Aベストアンサー

答え導き方といっても，1個1個の元について確かめるしかないような気がします．

f: R - {0} → R, x ↦ 1/x^2.

E = {1, 2}
に対して，
f(E) = {f(x) ∈ R | x ∈ E} = {1, 1/4}.

ただ，このf(E)は「Eの原像」とはよばず，
「写像fによるEの像」ってよぶんじゃないかと思います．

「H = {1, 4} に対して f^(-1) (H) を求めよ」ってことですよね．

1/x^2 = 1 となる実数は x = ±1,
1/x^2 = 4 となる実数は x = ±1/2
なので，

f^(-1) (H) = {x ∈ R - {0} | f(x) ∈ H} = {-1, -1/2, 1/2, 1}.

この「f^(-1) (H)」を「写像fに対する H の逆像」とか「写像fに対する H の原像」とかよぶんだと記憶してます．
要するに，原像と逆像は同じ意味だったはず．

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Q単射　全射　全単射　について教えてください

タイトルの通り、単射　全射　全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が５つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれＮ，Ｚ，Ｒとする。

(1)f:Z→N　f(x)=x2（二乗）
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗）
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3（三乗）
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば　
Zが１のとき、Ｎは１、Zが２のとき、Ｎは４という風にＺが決定すればＮはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Ｚが２のときは、Zは１とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
　x = 1，-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから，単射ではありません．
　また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません．
　
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
　f(x) は単調増加ですから単射といえましょう．つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし，f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません．
　また全射ではありません．R への写像となっていますが，f(x) = 0 や負になるような x がないからです．
　
(3) f: R→R, f(x) = sin x
　sin x は周期関数ですから，たとえば x = 0，π，2π，... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります．だから単射ではありません．
　また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから，R の上に全射でもありません．
　
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
　f(x) が単調増加ですから単射です．つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません．
　また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません．
　
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
　全単射です．f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です．

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
　x = 1，-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから，単射ではありません．
　また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません．
　
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
　f(x) は単調増加ですから単射といえましょう．つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし，f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません．
　また全射ではありません．R への写像となっていますが，f(x) = 0 や負になるような x がないからです．
...続きを読む

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Qこの写像がwell definedである事の証明

[Q] Let V,W be finite dimensional vector spaces over the same field.
{x1,x2,…,xn} is a basis for V
Tx1=y1∈W,…,Txn=yn∈W then you can define∀x∈V
x=c1x1+c2x2+…+cnxn
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn
(1) Show that this function is well defined.
(2) Show that this funciton is closed under scalar multiplication.

という問題で質問があります。この問題の意味は下記の通りだと思います。
"well definedである事示せ"とは具体的にどうすればいいのかわかりません。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。線形写像Tに於いて、
T(xi)=yi∈W (i=1,2,…,n)　…(1)、
そして、∀x∈Vに対して,
x=c1x1+c2x2+…+cnxn …(2)
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn …(3)と定義すれば
(1) この写像がwell definedである事を示せ。
(2) この写像がスカラー倍に対して閉じている事を示せ。

[(1)の証]
T(x)=T(Σ[i=1..n]cixi) (∵(2))
=Σ[i=1..n](ciyi) (∵(3))
=Σ[i=1..n]ciT(xi) (∵(1))
これからα,β∈Fとすると
T(αx+βy)=αT(x)+βT(y) …(4)が成立している事も表している事が分かる。即ち、Tは線形写像。
よって,この定義は妥当である。

[(2)の証]
∀c∈F,∀x∈V,T(cx)=cT(x)∈Wとなる事を示せばよい。
0をVの零ベクトルとすると
T(0)=T(Σ[i=1..n]0・xi)=Σ[i=1..n]0・yi (∵(1),(2),(3))=0 …(5).
y:=0と採ると,(4)からT(cx)=cT(x) (∵(5)) を満たす。
従って、Tはスカラー倍に対して閉じている。


という風に解いたのですがこれで正解でしょうか?

[Q] Let V,W be finite dimensional vector spaces over the same field.
{x1,x2,…,xn} is a basis for V
Tx1=y1∈W,…,Txn=yn∈W then you can define∀x∈V
x=c1x1+c2x2+…+cnxn
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn
(1) Show that this function is well defined.
(2) Show that this funciton is closed under scalar multiplication.

という問題で質問があります。この問題の意味は下記の通りだと思います。
"well definedである事示せ"とは具体的にどうすればいいのかわかりません。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベク...続きを読む

Aベストアンサー

パソコンの調子が悪くて、せっかく書いた回答が二回も消えてしまった。(>_<)
一回目はまだ前半だったが、二回目は、ほとんど完成していたのに・・。

悲しくて、放っておいたが、気を取り直してもう一度書きます。

まず、問題の意味を少し取り違えていると思います。
正しくは、次のようになると思われます。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、
{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。
このとき、写像T:V→Wを次のように定義する。
Wの元y1,y2,…,ynを選び、
T(xi)=yi (i=1,2,…,n)　…(1)、
とする。
（各xiの行き先を、まず決めるということですね）
そして∀x∈Vに対して,
x=c1x1+c2x2+…+cnxn …(2)
のとき、
T(x)=c1y1+c2y2+…+cnyn …(3)
と定義する。
(1) この写像がwell definedである事を示せ。
(2) こうして定義される写像たち全体の集合が、スカラー倍に対して閉じている事を示せ。

解
(1)
Wの元y1,y2,…,ynを選んだとき、Tは一意に決まることを示す。
{x1,x2,…,xn}はVの基底なので、任意のx∈Vに対し、(2)の表現は一意である。
よって(3)により、任意のｘ∈V に対して、T(x)は一意に定義される。
あとは、(1)が(2)(3)と矛盾しないことを確認すればよいが、
x＝xiのとき、ci＝1,cj＝0（j≠iのとき）となるので、
（つまり、(2)はxi＝xiとなるので）
(3)はT(xi)＝yiとなり、(1)と一致するからＯＫ。

(2)
(スカラー倍とは、写像のスカラー倍、ということです。つまり、写像に対し、それをスカラー倍した写像を考える、ということです。）
上のように定義される写像全体の集合をＳとする。
T∈Sとし、cを任意の定数とする。
このとき、写像T'を、Tの定義における各yiを、c×yiで置き換えた写像
とする。T'の定義よりT'∈S である。
すると、任意のx∈Vに対し、T'(x)＝cT(x) となる。
以上より、cT∈Sである。
T,c は任意であったから、Ｓは定数倍について閉じていることが言えた。

たぶん上記のような問題だと思われます。
問題文、ちょっと分かりにくいですね。
ちなみに、Ｓは加法についても閉じていて、一種のベクトル空間になります。

以上です。

パソコンの調子が悪くて、せっかく書いた回答が二回も消えてしまった。(>_<)
一回目はまだ前半だったが、二回目は、ほとんど完成していたのに・・。

悲しくて、放っておいたが、気を取り直してもう一度書きます。

まず、問題の意味を少し取り違えていると思います。
正しくは、次のようになると思われます。

[問]V,Wを体F上の有限次元ベクトル空間とし、
{x1,x2,…,xn}をVの基底とする。
このとき、写像T:V→Wを次のように定義する。
Wの元y1,y2,…,ynを選び、
T(xi)=yi (i=1,2,…,n)　…(1)、
とする...続きを読む

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QKer（核）やIm（像）の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルｘは、
　　ｂ＝Ａｘ
という対応によって、別のベクトルｂにうつされます。
このとき、ｂ＝０になるのはどんな場合かを考えてみます。
ｘ＝０の場合は、ｂ＝０です。
しかし、Ａの中身によっては、ｘ≠０なのに、ｂ＝０
になる場合があるでしょう？
ｂ＝０になるような、ｘをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Ｉｍのほうですが、ｂを好き勝手に決めたとして、
　ｂ＝Ａｘ
となるような、ｘがいつでもきめられるでしょうか？
どんなｂに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
（解が一通りしかない場合）もありますが、解がない場合だって
ありますよね？　これも、Ａの中身によります。
そこで、ｘをいろいろ変えてみて、でてくるｂを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ａｘ＝０の解ｘの集合、
Im(A)は、Ａｘ＝ｂが解ける場合のｂの集合
とでも理解しておけばいかがですか？
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルｘは、
　　ｂ＝Ａｘ
という対応によって、別のベクトルｂにうつされます。
このとき、ｂ＝０になるのはどんな場合かを考えてみます。
ｘ＝０の場合は、ｂ＝０です。
しかし、Ａの中身によっては、ｘ≠０なのに、ｂ＝０
になる場合があるでしょう？
ｂ＝０になるような、ｘをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Ｉｍのほうですが、ｂを好き勝手に決めたとして、
　ｂ＝Ａｘ
となるような、ｘがいつでもきめられるでしょうか？
どんなｂに対しても、連...続きを読む

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Q線形写像Ｔの求め方

大学の線形台数の授業で今、線形写像の範囲を勉強しているのですが、
線形写像Ｔの求め方がわかりません。

問題は「Ｔ([1,2])=([3,1,-6])とＴ([-1,1])=[-3,5,6]より線形写像Ｔを求めよ
」(Ｔ:Ｖ^2→Ｖ^3)というものなのですが、Ｔをどのように求めればよいか分かりません。

高校では2つの式をくっつけて逆行列をかけて…と、
このようにして解いていたのですが、大学ではすべてが2次正方行列ではないので
しっかりと大学で教わった解き方で解きたいです。

自分の考えでは、Ｔ=[Ｔ(1,0),Ｔ(0,1)]=[Ｔ(e1),T(e2)]にすればよいと思うのですが、
どの様にしてこの形に持っていくのでしょうか？
それ以前にこの考え方(方針)は間違っているでしょうか？

どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

[1,2] = [1,0] + 2[0,1]
T[1,2] = [3,1,-6] = T([1,0]) + 2T([0,1])　　　（１）

[-1,1] = -[1,0] + [0,1]
T([-1,1]) = [-3,5,6] = -T([1,0]) + T([0,1])　　　（２）

（１）と（２）の連立方程式を解けば、
T([1,0]) とT([0,1])が出ます。

こっちの方が計算が楽だね。

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Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか？
(漠然とした質問で申し訳ありません）
_______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　陰関数の定理：
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし，
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする．
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ１つ存在する:
b = φ(a),
f(x,　φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -｛fx(x,　φ(x))｝/｛fy(x,　φ(x)｝
が成立する．
_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

Aベストアンサー

とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください．
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります．

>f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
>fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか？
f'(a)は２次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか？

f(x,y)というのは，R^2上の関数fの点(x,y)での値です．
したがって，z=f(x,y) と考えれば，これは
確かにR^3での「グラフ」になります．
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って，f(x,y)=0 というのは，
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点（の集合）のことです．
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが，
f(x,y)=0も「解」（の集合）とみなせばいよいだけです．

また，偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます．

陰関数の定理というのは，
陰関数f(x,y)=0を，y=φ(x)という形で表現できる
ということを（特定の条件下で）保証する定理で
実際は，いろいろな理論の根底で使われます．

とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください．
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります．

>f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
>fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか？
f'(a)は２次元的に...続きを読む

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか？？

Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。

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Q一次変換Ｆによる　直線の像を求めてください

一次変換Ｆによる　直線の像を求めてください
(１　－１)　　x + y + 1 = 0
(２　　３)

A.x + 2y + 5

何をすればいいのかが分かりません
教えてください。お願いします

Aベストアンサー

一次変換は、直線を、直線または一点に移します。このことから、
x + y + 1 = 0 上の点を勝手に２個とって、それらの F による像を計算すれば、
x + y + 1 = 0 の F による像も解ります。

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Q表現行列の求め方

行列
1 2 -1 4
0 1 2 3
2 3 -4 5
に対応する線形写像f:R4→R3について
R4の標準基底｛e1,e2,e3,e4｝,R3の基底｛(1 1 2),(3 5 4),(1 1 1)｝に関するｆの表現行列
はどうやって求めたらいいのでしょうか。
試験が近いのですがこのあたりがよく分からなくて詰まっています。
よろしければ回答お願いします。

Aベストアンサー

質問冒頭の行列が、R4, R3 各標準基底上の
f の表現行列です。これを F と名付けましょう。
所与の R3 の基底を列ベクトルとして並べた
行列を P と置くと、求める行列は、
行列積 (Pの逆行列)F で表されます。
R4 の側も別に基底を指定するようなら、
その基底を列ベクトルとして並べた
行列を Q と置いて、求める行列は、
(Pの逆行列)FQ です。
今回は、Q が単位行列ですね。

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