アフィン空間の定義を簡潔に言うとどんな線形空間の事?

アフィン空間の定義を知りたく思っています。

ググって見るとユークリッド空間から何々を取除いたものとか線形空間の擬似空間みたいなものとかよく意味が分かりません。

線形空間の8つの条件
(i) (a+b)+c=a+(b+c)
(ii) a+b=b+a
(iii) ∀x∈Vに対して,x+0=xなる元0∈Vが存在する。
(iv) ∀x∈Vに対して,x+y=0となる元y∈Vが存在する。
(v) c(a+b)=ca+cb (c∈F)
(vi) (c+d)a=ca+da (c,d∈F)
(vii) (cd)a=c(da)
(viii) 1a=a
に何の条件を付け加えればアフィン空間になるのでしょうか?


ある本には線形部分空間を定ベクトルでずらしたものとか書いて有りました。
そうしますとW⊂VをVの部分空間とすると
{w+a∈V;w∈W,a∈V(aは定ベクトル)}
が(aに関しての)アフィン空間になるのでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/08/07 12:33

Wikipediaにしっかり定義があるんだけども

それを見たんだろうか・・・

＞アフィン空間の定義を簡潔に言うとどんな線形空間の事?
そもそも
アフィン空間は線形空間ではないわけです．
あなたが例にあげてる空間はアフィン空間だけども
線形空間ではないでしょう？

一般的には
集合Aがベクトル空間Vを伴うアフィン空間である
というような言い方をしますが
たいていの場合はVが自明だったりするので省略しますね．

集合Aがベクトル空間Vを伴うアフィン空間である
というのは，Wikipediaのをちょっと表記を変えて
一般的には
（1）Aの任意の元P，Qに対して，Vの元V(P,Q)が一意に定まる
（2）Aの任意の元P及びVの任意の元vに対して
Aの元Qで，V(P,Q)=vを満たすものが一意に定まる．このQをf(P,v)と表す（V(P,f(P,v))=v，ｆ(P,V(P,Q))=Q）．
（3）Aの任意の元P，Vの任意の元v,wに関して
f(P,v+w)=f(f(P,v),w)が成立する
ということをいいます．

実際には，Vだけではなく，適当な写像V：AxA->V，f:AxV->Aも必要で，なおかついろいろ条件がついてるわけです．
Vが「二点間の変位」で，fが「ベクトルによる平行移動」だとみなせば
「線形空間をずらしたもの」とか「原点のないベクトル空間」とか「ベクトルが推移的に作用する空間」とかいうような言及の意味がわかります．
＃「作用」については適当な書籍をあたってください．

参考：岩波基礎数学「アフィン空間・射影空間」

この回答へのお礼

貴重なご意見まことに大変ありがとうございます。
定義が明確になりました。
アフィンについて深く考察してみたいと思います。

お礼日時：2008/08/08 09:00

No.3 回答者： ojisan7 回答日時： 2008/08/07 13:20

いろいろ書くと混乱するかもしれませんが、一言述べさせてください。

アフィン空間は線形空間でないことはNo1～No2さんが丁寧に説明されています。アフィン空間にはさまざなな定義がありますが、どの定義を採用しても互いに同値です。私にとっては、以下に述べる、線形空間のアフィン変換を使った定義が理解しやすいですね。

線形空間のアフィン変換で変換される空間をアフィン同値といいますが、このアフィン同値な空間を同一視したときの空間をアフィン空間といいます。
たとえば、線形空間Wがあったとき、任意のアフィン変換Tについて、V=T(W)となるとき、WとVを同じ空間だと見なすわけです。ただし、アフィン変換で変換された空間Vは一般的には線形空間になりません。

この回答へのお礼

貴重なご意見まことに大変ありがとうございます。
アフィンについて深く考察してみたいと思います。

お礼日時：2008/08/08 08:50

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/08/07 12:34

＞ W⊂VをVの部分空間とすると

＞ {w+a∈V;w∈W,a∈V(aは定ベクトル)}
＞ が(aに関しての)アフィン空間になるのでしょうか?

そうです。W が V の部分線形空間で、a∈V であれば、
{ w+a | w∈W } は、W を台とするアフィン空間になります。
尤も、アフィン空間を定義するときに V を明示することは
少ないと思いますが。

＞ 何の条件を付け加えればアフィン空間になるのでしょうか?

線形空間に公理を追加しても、一般に、アフィン空間にはなりません。
{ w+a | w∈W } が線形空間になるのは、a∈W であって
それ自体が W と一致する場合だけです。それ以外の場合、
アフィン空間は、線形空間ではありません。

(i)～(viii) の条件以前に、
{ w+a | w∈W } では、V の加法も、スカラー倍も閉じていません。
(演算の結果が { w+a | w∈W } の元にならない。)

この回答へのお礼

大変ありがとうございます。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%95% …
では
線形空間Vとは無関係の集合Aが台集合と呼ばれているようです。

"W が V の部分線形空間で、a∈V であれば、
{ w+a | w∈W } は、W を台とするアフィン空間"

では部分空間Wが台集合になるのですね。
WがAに相当するのでしょうか?

う─ん,こんがらがってきました。

お礼日時：2008/08/08 08:59