【iOS版アプリ】不具合のお知らせ

皆さんよろしくお願いいたします。

制御工学において、ボードの定理を勉強中です。
ボードの定理の前提となっている最小位相推移系の1つの条件として
不安定零点を持たない系(もう1つは安定極であること)があります。
不安定零点とは何でしょうか?

教科書では、伝達関数
    K(s-z1)(s-z2)・・・(s-zm)
G(s)=----------     ただし(m≦n)
    (s-p1)(s-p2)・・・(s-pn)
において、不安定零点とはRe(zm)<0と定義していますが、なぜでしょう。
不安定という形容詞が付いているくらいなので、その名の
由来及び定義または、それらを掲載しているURLなどをご存知の方、
いらっしゃいましたらご教示いただきたく、お願いいたします。

A 回答 (4件)

不安定零点とは連続系では、「右半平面に存在する零点」です。


つまり、実部が正の零点です。こいつがあると、位相が最小位相にならない。
Gp1(s)=( s+1)/(s^2 + s + 1) と
Gp2(s)=(-s+1)/(s^2 + s + 1) は
ゲイン特性は同じだけど位相特性は違う。
(Gp2の位相はGp1よりも180°も遅れる)

で、このときのGp2の零点を不安定零点と呼ぶ。
この不安定零点の実部は正になっています。

実部が正の極は不安定極と呼ばれますので、
零点の場合も合わせて不安定零点と呼んで
いるのだと思います。
もっと言えば、
不安定零点を持つシステムの逆は
当然ながら不安定極を持ちます。
「逆システムを構成すると“不安定”な極となってしまう“零点”」
ということだと思われます。

なお、このシステムにステップ入力などを入れても
不安定な挙動は示しませんのでご注意ください。
(安定性を支配しているのは極なので)

制御屋さんから見ると、不安定零点があると
アンダーシュートしたり、逆システムを組んだときに
不安定になってしまうことの方が問題になっています。
とはいっても、いろんな対処法があります。

はっきり言って、リファ可能な「由来」については・・わかりません。
この不安定零点は制御をやっている人なら誰でも
知っていますが、由来というのは過去に聞いたこと
無いですね。
数学屋さんに聞いたほうがいいかも知れませんね。

(参考までに)
不安定零点についてある程度書かれた教科書としては、
Goodwin著のControl system design がいいと思われます。
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
懇切丁寧で分かりやすい説明をありがとうございます。
記載頂いた内容について、
不安定零点とは、
1)実部が正の零点。実部が正の極は不安定極と呼ばれる。
  逆システムを構成すると“不安定”な極となってしまう“零点”
2)位相が最小位相にならない。
3)複素平面上で右半平面に零点がある。
であり、その特徴としては、
1)不安定零点があるとアンダーシュートする。
2)逆システムを組んだときに不安定になってしまう問題がある。
3)このシステムにステップ入力などを入れても不安定な挙動しない。
  (安定性を支配しているのは極であるから)
との理解でよろしいでしょうか。

また、「逆システム」とは#4でご説明頂いている。C(s)=G(s)^-1のこととの理解でよろしいでしょうか。
上に記載した小生の理解が良いかどうか、ご教示いただければ幸いです。

お礼日時:2008/09/29 17:26

>確かにG(s)^(-1)の挙動は問題になるかもしれませんが、


>逆関数にされた意味は、何でしょうか?

すみません。よく見たら逆関数について質問されてますね。
制御工学なので、当然ながらシステムに対する要求があります。
乱暴に言えば、「出力yを指令値rと一致させたい」
などが主な要求です。
オープンループ制御だと y=G(s)r になります。
ですが、要求しているのは y=r です。
なので、G(s)の前に、制御器C(s)を挿入することを考えます。
すると、y=C(s)G(s)r になります。ここで y=r を満たすには
制御器を C(s)=G(s)^-1とすればよいことが分かります。

このような背景から、逆システムが制御では用いられることが
多いのです。
実際にはフィードバックと組み合わせた構成になりますが
基本の考え方はこれだと思います。
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この回答へのお礼

ご回答頂きありがとうございます。
懇切丁寧で、とても分かりやすかったです。
制御で逆関数が出てくるのは、出力と指令値を一致させたい等の場合に
使用されるものなのですね。
よく理解できました。ありがとうございます。

お礼日時:2008/09/29 17:32

(「実部が正の零点」なら、Re(zm)>0ですね。

条件としては、こちら(逆伝達関数が安定)だったような、、。)

(手元に関連する部分を記載した教科書が無いため、記憶を手繰りながら書いています。ですので、一部怪しい部分(t->∞で収斂が必要条件だったか、t->-∞で収斂が必要条件だったか、、)があります。)

最小位相推移であることを示す過程で、G(s)の逆(伝達)関数G(s)^(-1)含まれた式が表れているかと思います。
で、この式を操作する際に条件としてG(s)^(-1)の極が安定(実部が負、t->∞でG(s)に対応する時間応答g(t)が収斂する)が必要になる箇所があるかと思います。そのためには、G(s)^(-1)の極の実部が負、したがってG(s)の零点の実部が負、というのが必要と。
(この部分、ちょっと怪しい。t->-∞で収斂、よってG(s)^(-1)の極は実部が正、よってG(s)の零点は実部が正が必要、だったかも、、。)

そのあたりから、きているのかと思います。
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。
確実な、ご意見ではないため、自信のところにもあるように
参考意見としてうかがっておきます。
正直、今回ご回答いただいた内容は、前回小生が質問したことに対する
回答となっていないため、逆に混乱してしまいました。
もし、お手元に関連の教科書が入手できた際は、またご教示いただきたくよろしくお願いいたします。

お礼日時:2008/08/27 23:27

この手の定義は、教科書にかかれていると思いますので、そちらで確認されるのが良いかと思います。



で、大雑把には、
・G(s)の逆関数G(s)^(-1)の挙動が問題になる。(ある時刻からスタートして t→-∞に向かって遡ったときに応答が発散するかどうか、だったかな?)
・G(s)^(-1)の安定/不安定はG(s)^(-1)の極(G(s)の零点)の実部で決まる。
ということから、G(s)における零点の実部の正負が問題にされたかと思います。(実部の正負、どちらが不安定になるかは、最初の時刻変化を見る際にt→∞と向かうか、t→-∞に遡るかが関連していたかと思います。)
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。

>この手の定義は、教科書にかかれていると思いますので、・・・

手持ちの教科書は3冊ありますが、明確な定義が示されておらず、
「実部が正である零点を不安定零点と呼ぶ」くらいしか記載されてませんでした。
そこで定義の意味が明確でないため質問させていただきました。
実部が正である零点がなぜ不安定なのでしょうか。

(1)「G(s)の逆関数G(s)^(-1)の挙動が問題になる。・・・」
 すいません。よく理解できません。確かにG(s)^(-1)の挙動は問題になるかもしれませんが、
 逆関数にされた意味は、何でしょうか?

(2)「G(s)^(-1)の安定/不安定はG(s)^(-1)の極(G(s)の零点)の実部で決まる。」
 安定/不安定はG(s)の分母(特性方程式)の極の実部で判定されるのではないでしょうか。
 G(s)の零点の実部で決まるのはなぜでしょうか。

以上、お時間のあるときで結構ですので、ご回答いただければ幸いです。

お礼日時:2008/08/25 19:29

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