親子におすすめの新型プラネタリウムとは?

次の問題の解法が分かりません。

次の常微分方程式の一般解を求めよ。
(1)y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
(2)x^2*y''-2y=x

定数係数であれば解けるのですが、このようにxを含む係数の場合どうすればいいのですか?

調べたら級数展開法というものが出てきたのですが途中の計算がよくわかりませんでした。

級数展開法ではない方法で解けるのですか?

A 回答 (3件)

>もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか?



とにかく、なんとかして、特解を見つけることです。
(1) y''+4x*y'+(4x^2-2)y=0
パッと見ると、y'' 、 4x*y' 、 (4x^2-2)y てことなんで、
一回微分すると、xの一次式が出てくる感じがします。というわけで、
y = exp(ax^2+bx+c)
なんかが解の候補になりそうです。これを代入して計算すると、…(☆)
y = exp(-x^2-2x)
が一つの解ってことがわかります。
で、特解u(x)が一つ見つかった後は、y = u(x)*z(x) と置きます。(#1はちょっと誤植がありました。)
この場合だと、
u(x) = exp(-x^2-2x) として、
y = u(x) * z(x)
と変数変換すると、
u(x)*z''(x) + { 2u'(x) + p(x)*u(x) }*z'(x) = 0
というz'(x)に関する 1次微分方程式になります。
で、z'(x) の一般解を求めて、一回積分して z(x)を求めて、
y = u(x) * z(x)
で、元の微分方程式の一般解が求まります。

ただ、実際には(☆)の段階で、
独立な解が2つ求まるので、それの線形結合という形で簡単に一般解が求まります。
y = C1*exp(-x^2-2x) + C2*exp(-x^2+2x)

(2) x^2*y''-2y=x
とりあえず、まず、右辺0(斉次)としてみると、パッと見で一回微分すると次数が1減るみたいなんで、
単純に、y = x^α と置いて、斉次方程式に代入してみると、y=x^2 と、y=1/x が(独立な)解ということがわかります。
あとは、非斉次方程式の特殊解を見つければいいわけですが、これは、見た目から y=-x/2 ていうのが見つかります。
というわけで、一般解は、
y = C1*x^2 + C2/x - x/2
ですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

簡潔丁寧な説明でよく分かりました。

このように解くことができるのですね!
まだまだ勉強不足です><

大変助かりました、本当にありがとうございました。

お礼日時:2008/08/16 16:34

2階線形微分方程式の一般解はその「斉次式の」特解を1つ使えばば求まる。


多分、
2階線形微分方程式の一般解はその特解を1つ使っても一般的には求まらない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2008/08/16 16:36

(定数係数でない)2階線形微分方程式は、一般的な解法はありません。


ただし、なんとかして、特解 u(x) を一つ見つけられれば、
y = u(x)*x
と変数変換すると、1次線形微分方程式(一般解法がある)になります。

この回答への補足

ありがとうございます!

これは大学院入試過去問題なのですが解答が公開されないため質問しましました。

この2問のみを考えるとき、手計算でなんとか解くことが出来るはずなのですが自分にはわかりませんでした。

もしよろしければこの問題についてで結構ですので再考していただけないでしょうか?

よろしくお願いします。

補足日時:2008/08/13 23:16
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Aベストアンサー

 #3です。間違えました。


 定数係数の場合だけ、g,hに関する条件として、

  g+h=-P(定数)
  g・h=Q(定数)          (6)

が得られます。


ではなく、

 定数係数の場合だけ、g(x)=exp(αx),h(x)=exp(βx)(α,βも定数)の形の積分因子が得られ、α,βに対して、

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  α・β=Q(定数)          (6)

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Aベストアンサー

a^2y=ax+4
(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味がない
(定石)
y=f(p、x)
と解けるときは、両辺をxで微分して(pの微分方程式にして)
pを求めて、y=f(p、x)に代入する。
x=f(p、y)のときはyで微分する(1/pとすれば上とおなじ)
などなど
>非線形微分方程式は解を求めるのが大変難しいだけでなく、解が求められないものもたくさん存在します。
というのはあくまで一般論。とくに大学院試験の数学の問題では
名前のついた(解くことができる)有名な”非線形の”方程式が出る。
(とおもう)

a^2y=ax+4
(補足)まじめに解くと
y'=pとおけば
y =4p^2 + xp
xで微分すると
p=8pp'+p+xp'
p'=0 →p=a(定数)
または、
p=-x/8
p=aのとき
y =4a^2 +ax
y=C(x+2C)

p=-x/8のとき
y= -x^2/16(これが抜けてた。こっちが特殊解?)

>非線形微分方程式では dy/dx をこのように y や x とは一見独立したようなものとして扱うのが定石なんでしょうか。

というより
1階高次常微分方程式の解法手順で解くと
p'=0 →p=a(定数)
が出てくるから。
p'=0 →p=a(定数)
が出てこない一般の場合は、意味...続きを読む

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Q2階変数係数線形微分方程式

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(x^2)*y"-3xy'+5y=4/x---------------(ⅰ)
式(ⅰ)は
(x^2)(d^2y/dx^2)-3x(dy/dt)+5y=4/x---------------(ⅱ)
だから
ここで
d/dt=D,e^t=xとおけば
d^2y/dx^2=(d/dx)(dy/dx)
=(d/dt)(dt/dx)y(d/dt)(dt/dx)
=yD(D-1)e^(-2t)
dy/dt=y(d/dt)(dt/dx)
=yDe^(-t)
((2))式を書き直すと
{D(D-1)y-3D+5}y=4e^(-t)
(D^2-4d+5)y=4e^(-t)------------(ⅲ)
基本解を求めるために右辺を0とおくと
ζ(λ)=λ^2-4λ+5=0
λ=2±i
よって基本解λ=2±i
これから余関数を求めると
Y=e^(2t)(e^(2±1i))
=x^2{(C1cost+C2sint)+(C3cost-C4sint)}
=x^2{(C1+C2)cost+(C3+C4)sint}
C1+C2=A,C3+C4=Bとおけば
Y=x^2(Acost+Bsint)---------*
ここでe^t=x より logx=t
Y=x^2(Acoslogx+Bsinlogx)

また*で発展して
Y={√(A^2+B^2)}(sint+α)
√(A^2+B^2)=C
Y=C(sinlogx+α)
と書く方法もあります.

特解の求め方ですが
ξ(D)φ=4e^(-t)
   =4e^(-t)/ξ(D)
ここでe^(-t)のtの係数(-1)をDに代入すると
   =4e^(-t)/ξ(-1)
   =4e^(-t)/((-1)^2-4(-1)+5))
   =4e^(-t)/10
   =2/5x
よって
y=Y+φ=x^2(Acoslogx+Bsinlogx)+2/5x
もしくは
y=C(sinlogx+α)+2/5x

(x^2)*y"-3xy'+5y=4/x---------------(ⅰ)
式(ⅰ)は
(x^2)(d^2y/dx^2)-3x(dy/dt)+5y=4/x---------------(ⅱ)
だから
ここで
d/dt=D,e^t=xとおけば
d^2y/dx^2=(d/dx)(dy/dx)
=(d/dt)(dt/dx)y(d/dt)(dt/dx)
=yD(D-1)e^(-2t)
dy/dt=y(d/dt)(dt/dx)
=yDe^(-t)
((2))式を書き直すと
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Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合(分圧)で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素(分子量28)が78%、酸素(分子量32)が22%とするとこのとおり。
28×0.78 + 32×0.22 = 28.88(平均分子量)

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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