ＲＣ、ＬＣ回路でのコンデンサの放電について。

ＲＣ、ＬＣ回路でのコンデンサの放電について教えてください。

また私は次のように考えているのですが、どこか誤りがあるのでしょうか？
（１）ＲＣ直列回路での放電。（ＲＣのみで、電池はありません）
　コンデンサでの初期電荷をＱとする。

q(t)/C = Ri(t)
微分して
1/C・dq(t)/dt = Rdi(t)/dt

ここで放電を考慮するとdq(t)/dt=-i(t)より
-i(t)/C = Rdi(t)/dt

またq(0)=Qより
Q/C=Ri(0)

よって。。。。



(2)ＲＣ直列回路での放電。（ＲＣのみで、電池はありません）
　コンデンサでの初期電荷をＱとする。

q(t)/C =Ldi(t)/dt

ここで放電を考慮し
dq(t)/dt = -i(t)より

q(t)=-∫i(t)dt

よって
-∫i(t)dt/C = Ldi(t)/dt

ラプラス変換
-( I/s+∫i(t)dt(t=0) )/C = L( sI-i(0) )

ここで
∫i(t)dt(t=0) = Q
i(0)=0
より。。。。

ＲＣのほうはあっていると思うのですが、ＬＣのほうは自信はありません。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： suzukijun 回答日時： 2008/08/15 10:20

左にコンデンサー右に抵抗もしくはコイルの回路。

初期状態で上に＋Ｑ，下に－Ｑの電荷が蓄えられているイメージで考えてみます。

（１）RC 直列回路での放電（あっていると思います）

ちなみに，-i(t)/C = Rdi(t)/dt　のあとは，

di(t)/dt + i/RC=0
両辺に e^(t/RC) をかけて，

di(t)/dt・e^(t/RC) + i/RC・e^(t/RC) = 0
左辺は i(t)・e^(t/RC) をtで微分したものなので，
i(t)・e^(t/RC) = A（Aは定数）
よって，
i(t) = Ae^(-t/RC)

t=0，i(0)=Q/RC　を代入して，A=Q/RC

∴　 i(t) = Q/RC・e^(-t/RC)

（２）ＬＣ直列回路での放電（上と同様に解けますよ。）ＲＣは誤植ですね・・

q(t)/C =Ldi(t)/dt
両辺を t で微分して，整理すると
d^2i(t)/dt^2 + (1/LC)・i = 0　…※

２階の微分方程式なので，
D^2＋(1/LC)=0 をといて，D=±√(1/LC)

よって，解は
i(t) = A1e^√(1/LC)jt + A2e^-√(1/LC)jt (jは虚数)
オイラー変換にて
i(t) = Acos√(1/LC)t + Bsin√(1/LC)t

t=0 ,i(0)=0 より A=0
i(t) = Bsin√(1/LC)t

t で積分して，q(t) = -B√(1/LC)cos√(1/LC)t
t=0 ,q(0)=Q より B = -Q

∴　i(t) = Qcos√(1/LC)t

こんな感じでしょうか？

No.2 回答者： suzukijun 回答日時： 2008/08/16 07:59

すみません。

最後でミスりました。
＞∴　i(t) = Qcos√(1/LC)t
＞こんな感じでしょうか？
ではなく，ここは q(t)ですね。
q(t) = Qcos√(1/LC)t
∴　i(t)=-dq(t)/dt=Q√(1/LC)sin√(1/LC)t
です。申し訳ありません。