出産前後の痔にはご注意!

微分、関数の値の増加、減少という範囲で分からないことがあったので質問します。

定義: f'(x)>ならば、f(x)はその区間で増加する。

問題:f(x)=x^3-3ax^2+3x-4について次の問いに答えよ。

f(x)がつねに増加であるように、aの値の範囲を定めよ。

この問題の解説に

f(x)がつねに増加であるための条件は、すべてのxについてf'(x)≧0である。 

と書いてあります。

自分は、なぜ定義とは違い、この場合は > でなく ≧ を使うのか。いまいちよく分かりません;;

詳しく説明していただけると嬉しいです。

A 回答 (11件中11~11件)

こんにちは。



あなたが疑問に思うのは、もっともなことです。

f(x)がつねに増加であるための条件は、

「すべてのxについてf'(x)≧0である。」
ではなく
「すべてのxについてf'(x)>0である。」
です。

たとえば、
f(x) = 2
は、
f’(x) = 0
なので、
「すべてのxについてf'(x)≧0である。」
を満たします。
しかし、f(x)=2 は、増加も減少もしません。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

すみません、まだ、いまいち理解に苦しんでます;

傾きが0の時は増加してないので、傾き0を含むと 常 に増加ではない気がするんですが・・・。

あと、他の問題で:関数が増加する区間、減少する区間を求めよ。
y=x^2+2x+3
  この答は、 x<-1で減少 x>-1で増加 
で ≧≦ ではありません。
日本語の違いによって、< ≦ の使い分けがよく分からないです;

補足日時:2008/08/19 19:35
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Q単調増加関数とは何か?

よく問題をやっているときに「単調増加関数」とか、「増加関数」なるものが出てきて、それが問題の解法に重要に絡んでいる事があるのですが、一体「単調増加関数」とか、「増加関数」や「減少関数」というのは、どういう意味なのでしょうか?

予想では、関数f(x)の微分値f'(x)が0より大きければ増加関数なのだと思いますが、自信もないしそれだけでは単調増加関数の説明ができません。

Aベストアンサー

実数上で定義された関数f(x)が単調増加

  <==> 任意の実数x,y, x<y に対して f(x)<
f(y) が成り立つ。

 これが定義のはずです。微分可能性はもちろん、連続性も仮定しません。もし微分可能なら f'(x)>0, xは任意の実数、となります。
 実数を開区間で置き換えてもいいです。

頑張ってください。

Q関数f(x)が区間0≦x≦1で単調に増加する条件は0<x<1のとき、f

関数f(x)が区間0≦x≦1で単調に増加する条件は0<x<1のとき、f’(x)≧0であること。
とあるのですが、なぜこのような条件となるのでしょうか?
自分は条件が、0≦x≦1のとき、f’(x)>0かと思ったのですが、考え方が分かりません、、、

どなたか詳しく説明して頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#3です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない(不連続関数で単調増加のものがあるから)ので、文脈上「条件」が「必要十分条件」とはならないことは自明でした。

以上、自己補足

---
???
  誤解のないよう追記。
 「連続関数で」「両端を除く開区間で f'>0 が必要十分です」は「≧」では?

 (-1,1)における、f(x)=x^3 の x=0 で、f'(0)=0 だけど単調増加ですよね。
 
  この単調増加は、狭義単調増加。

   ついでに補足すると、一般には
  x<y ⇒ f(x)<f(y) は狭義単調増加
  x<y ⇒ f(x)≦f(y) が広義単調増加 が定義。
  (x=y ⇒ f(x)=f(y) はいうまでもないことじゃないですか・・)

  

#3です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


もとより、導関数の存在等は単調増加であることの必要条件ではない(不連続関数で単調増加のものがあるから)ので、文脈上「条件」が「必要十...続きを読む


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