教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

はじめまして。
おそらく振り子の問題だと思うのですが、あまりよく理解できません。
簡単な問題かもしれませんが、ご回答お願い致します。

図のように、質量m、長さ12Lの細い一様な棒が、棒の中心からhの距離にある点Hを支点として微小振動した場合の角振動数ω(h)を求めよ。
ただし、点Hを通る軸周りの慣性モーメントは、
I(h)=12mL^2+mh^2 とする。

図を解説すると、棒を縦に立てて(少し傾いている)、棒の中心から棒に沿って距離h上方を支点Hとしています。

教科書の似た問題を見ると、この問題と関係ないかもしれませんが、
回転の式 I・dω/dt=-mghsinθ

となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。
微小振動ならsinθ≒0になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか?

慣性モーメントと回転の式などの正負の関係があまり理解できないので、この点に関しても、よろしければご回答お願いいたします。

gooドクター

A 回答 (1件)

>回転の式 I・dω/dt=-mghsinθ


>となっていますが、なぜマイナスになるのか分かりません。

ω=dθ/dt はθが増える方向が正ですよね? 右辺のトルク
(力のモーメント)はθを増やすまいとする方向だからです。
通常θは反時計回りを正にとります(本当はθは回転方向を
ねじの回る方向としてねじの進む方向へのベクトルとして
扱うのが普通です)。一方トルクも反時計回りに回転させる
作用を正とします(トルクももちろん通常はθと同じ決め方を
したベクトルとして扱います)。今両者は逆向きですよね?
同じ向きだったらどんどん回転が速くなっていって,振動には
なりません。これは,もっと初歩的にはばね振り子の運動方程式
m dv/dt = -kx と形式的に同じ形をしていますよね。

>微小振動ならsinθ≒0になると思うのですが、この考え方は間違っていますでしょうか?

ダメです。それでは運動することになりません。
sinθ=θ-θ^3/3!+・・・という無限級数からθの1次の項まで
とって近似します。すなわち,sinθ≒θと近似します。
そうすることで,ばね振り子と同じ形
m d^2x/dt^2 = -kx ←→ Id^2θ/dt^2 = -mghθ
になって初歩的に解くことができるようになるわけです。
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この回答へのお礼

素早いご回答ありがとうごうざいます。
涙が出るほど分かりやすかったです。

つまり、単振動と同じように考えてみますと、
I・d^2θ/dt^2=-mghθ≡-kθ
T=2π√(I/k)=2π√(I/mgh)
ω(h)=√(mgh/I)

と、この解でよいということですよね。
非常に助かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2008/08/22 23:20

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