基底Bで生成される位相と部分基底で生成される位相の定義について質問

Question

英語での講義で
基底Bで生成される位相と部分基底で生成される位相の定義がわからず困っています。

Def
If X is a set,a basis for a topology on X is a collection B of subsets of X (called basis elements) such that
(1) For each x∈X,there is at least one basis element b containing x.
(2) If x belongs to the intersection of two basis elements b_1 and b_2,then there is a basis element b_3 containing x such that b_3⊂b_1∩b_2.

Xを集合とし,B∈2^XがXの位相の基底
⇔(def)
(i) ∀x∈X,∃b∈B;x∈b.
(ii) x∈b_1∩b_2⇒∃b_3∈B;x∈b_3⊂b_1∩b_2

の解釈で正しいでしょうか?

If B satisfies these two conditions, then we define the topology T generated by B as follows: A subset U of X is said to be open in X (that is ,to be an elemnt of T) if for each x∈U,there is a basis element b∈B such that x∈b and b⊂U.
Note that ezchd basis elements is etself an element of T.

T(∈2^X)はXの位相の基底Bから生成される位相
⇔(def)
∃U∈T such that (x∈U⊂X⇒∃b∈B;x∈b且つb⊂U)

で正しいでしょうか?

Def
A subbasis S for a topology on X is a collection of subsets of X whose union equals X. The topology T' generated by the subbasis S is defined to be the collection T of all unions of finite intersectoins of elements of S.

SをXの位相の部分基底(位相の基底の部分集合)とするとX=∪[b∈S]bとなる。この時,
T'はSで生成される位相
⇔(def)
A:={∩[i=1..n]b_i;b_i∈B (i=1,2,…,n)}
T:=∪[a∈A]a
T'⊂T.

kabaokaba · Accepted Answer

なかなかに頑固というか・・・

「Xを集合とする。Xのある集合の族Bが次の条件を満たす時,BはXの開基底または開基であるという。
任意の集合G(⊂X)が与えられた時,Gの任意の点に対してx∈b⊂Gとなるb(∈B)が存在する。」
・・・これを定義Sと呼ぼう

>一般論では具合が悪いなんとかかんとか、、、、と途端にお茶を濁されるので当惑しておるのです

じゃあ，具合が悪いといわれたら
自分で反例作ればいいでしょう？
あなたの定義Sでよく知られたものがきっちり生成できる？
この定義Sは忘れること．
だってさ。。。。これ開基の定義として不適切だもの．
例えば，きわめて自明な例をとろう．

位相空間R（実数）をとる
Rの開基Bとして，開区間(a,b)の集合をとる
さて，Rの部分集合として，{1}をとる
さて，x∈(a,b)⊂{1}なんていう開区間(a,b)はあるかい？

位相が入ってるRで考えるのがいやなら，抽象的に．
定義Sによる「開基」をBとする
さて集合Xの任意の元xに対して，部分集合{x}をとる
Bの定義により（Gは任意の集合であることに注意）
x∈b⊂G={x}
となるBの元bが存在するが，これはb={x}であることを意味する．
したがって，Bは要素が一個の部分集合をすべて含む集合族である．
このようなBによって生成されるXの位相は
Xのベキ集合であり，Xには離散位相しか入らない．
これは定義としては不適切でしょう？

「位相に関係ない開基の定義Aがある」
したがって，この定義は位相空間でも適用可能
さらに
「位相空間であれば，位相空間の性質を使った
開基の定義Bがある」
となって，位相空間に対して定義Bによる開基があれば
この開基は定義Aも満たす．
逆に，一般の集合Xに対して，定義Aによる開基があれば
この定義Aによる開基で生成される位相を集合Xにいれることで
Xは位相空間となり，
もともとの開基（そもそもは定義Aによるものだった）は
位相空間Xに対する定義Bによる開基にもなる．

上であげた「定義A」と「定義B」の実際の表現はわかりますか？
定義A
集合Xの部分集合族Bが以下の条件を満たすとき
BをXの開基という
(1)BはXを被覆する
(2)任意の b1, b2 ∈ B および任意の x ∈ b1 ∩ b2 に対して、ある b ∈ B が存在して、x ∈ b ⊂ b1 ∩ b2 となる。

定義B
位相空間Xに対して，部分集合族Bが以下の条件を満たすとき
BをXの開基という．
(1) Bの要素はすべて開集合である
(2) X の任意の開集合 U の任意の点 x に対して、x ∈ b ⊂ U を満たす B の要素 b が存在することである。

定義Bと定義Sの違いはわずか．けどその差が問題．

さて，
一般の集合Xに対して定義Aで開基Bを定める
この開基Bに対して，集合族Oを以下のように定める
集合UがOの要素であるとは
U の任意の点 x に対して，
x ∈ b ⊂ U を満たす B の要素 b が存在することをいう．

このとき，OはXの位相である（これの証明は以下の通り．
・Xと空集合はOの要素
・Oの任意の要素U1，U2をとる．
x∈  U1 ∩ U2 に対して，
x ∈ b1 ⊂ U1, x ∈ b2 ⊂ U2 なるBの要素b1，b2がある（Oの定義）．
x ∈ b ⊂ b1 ∩ b2 となるBの要素bがある（定義A(2)）
よって
x ∈ b ⊂ b1 ∩ b2 ⊂ U1 ∩ U2
つまり， U1 ∩ U2はOの要素
・添え字集合をIとして，Oの要素のUi（i∈I）をとる．
各iに対して，
x ∈ bi ⊂ Ui を満たす B の要素 bi が存在する（Oの定義）．
したがって，
Uiの和集合をUとする．
Uの任意の要素xに対して，あるiが存在して
x∈ bi ⊂ Ui ⊂ U
であるので，UはOの要素である．
・以上より，Oは位相である
）．
さらに定義Aによる開基Bが
「位相Oが入った位相空間Xに対する定義B」を満たす．
なぜなら，
位相Oの定義より，開基Bの任意の要素bに対して
b の任意の点 x に対して，
x ∈ b ⊂ b であるので
bはXの開集合
・・・・定義Bの条件(1)の証明終わり
次に定義Bの条件(2)だけども
これは位相Oの定義から自明。

そして，逆も示す．
位相空間Xで定義Bによる開基Bをとる．
XはXの開集合であるから，Xの任意のxに対して
x ∈ b ⊂ U を満たす B の要素 b が存在する．
よって，BはXを被覆する
・・・定義Aの条件(1)の証明終わり

任意の b1, b2 ∈ B および任意の x ∈ b1 ∩ b2をとる．
定義Bより，開基Bの任意の要素は開集合である．
したがって，b1, b2は開集合であり，
よってb1 ∩ b2は開集合．
定義Bより，
x ∈ b ⊂ b1 ∩ b2を満たす B の要素 b が存在する．
・・・定義Aの条件(2)の証明終わり

それと
>でも冒頭の問題が解消されないと不安を残したままだと自信を持って先に進めません。
これは初学者が勉強する態度としてはある意味最悪のものです．
ときには分からなくても，「そーいうものだ」と保留して
あえて先にいくことが絶対に必要です．
この「先送り」の手法はどんな勉強でも必須であり，
実際，研究の最前線での「仮説を立てて先に進む」とか
「モデルを構築する」なんていう方法論は
ある意味「壮大なる先送り」です．
先送りして進んでおくと，
いつの間にか分かってることもありますし，
先送りして不具合がでたら，先送り部分がまずいことが分かります．
＃背理法もその意味では似ている．
ぶっちゃけた話
「開基」なんてものは位相空間論の本質ではありません．

kabaokaba · Answer

>これは最初に位相を与えてあります。

いや・・・そうじゃなくって・・・
位相が最初にあるかないかは。。あんまり関係ないんです．
もう前に書いてるんだけども，・・・いいかい・・・

まず「位相なんかが入ってない集合X」に対して
「開基」ってものが定義できる．
これはいいかい？
そして，開基が定義できれば，
これから誘導される位相が定義できる
よーくwikipediaの定義をみてごらん．
開集合なんて言葉に惑わされないでしっかり読んでみる．
そして自分で手を動かして具体例をつくる．

>集合 X の部分集合族 B が X 上のある位相の開基であるための必要十分条件は以下の通り。

その下に条件が二つあるでしょう？
こんな条件を満たしている集合族を開基といえば，
これから位相を定めることができるということ．
そして，開集合とはその位相の要素のことと定める．
＃任意の集合での「自明な開基」の例は前にあげたでしょう？

開基は位相があってもなくても
定義できる概念だってこと。
そして，位相があるときには，
その位相と整合がとれるような開基の定義がある．
これが
>他書での開基の定義には
と書かれている定義．
そして位相空間であるならば
これら「一見二つにみえる開基の定義」は同じものとなる．

位相空間の初歩の定義は同じものであっても
前提条件や流儀で見た目が違うし
同値なものがいっぱいあるから
一個一個自分で
・何が定義で何が定理なのか
・何と何がどういう条件下で同値なのか
を確認しないとだめです．

kabaokaba · Answer

＞「Xを集合とする。Xのある集合の族Bが次の条件を満たす時,BはXの開基底または開基であるという。
任意の集合G(⊂X)が与えられた時,Gの任意の点に対してx∈b⊂Gとなるb(∈B)が存在する。」

おしいかな・・・これだと一般の場合は無理かな。。。
Gが任意の部分集合だとだめです．

いろいろ流儀があるけども
とりあえず，Wikipediaあたりを参照してください．
・一般の集合に対して「開基」を定めてそれで位相を定める
・位相空間に対して，その位相を生成するような「開基」を定める
ということがあるのが分かります．

位相空間の位相＝＞その位相に対する開基＝＞その開基による位相
最初と最後は同じものです．

一般の集合での開基＝＞位相＝＞その位相での開基
最初と最後の開基は集合族としては異なるものかもしれませんが
生成する位相は同じ

位相空間の位相というのはあまりに「範囲が広い」ので
もっと小さな集合族でその位相を扱えないかというのが開基です．
そして逆に「先に」開基を与えることができれば
位相を与えることになるというわけです．
相手にするのがあらかじめ位相が入ってる位相空間か
そうではないかで表現などが違うので注意がいります．

kabaokaba · Answer

>集合Xに対してどんな位相Tに対してもBは一意的に定まる(?)。

勘違いしています．
「集合に位相を定める」ということと
「集合に開基を定める」ということはある意味同じです．
「集合に開基を定め」れば，
それから位相を定めることができます．
逆に，集合に位相が入っていれば，開基を定めることができます．
ただし，開基は一意ではありません．

自明な例：集合Xに対して
（準）開基を{X}とする=>Xの位相は{φ,X}
（準）開基を{ {x} | xはXの要素}とする=>Xの位相は2^X 

自分で例を作れないということは
理解できていないということなのですが，
答えが直観的に明らかな例，極端な例を複数作れますか？
＃ついでに「ソージェンフリー直線」なんかも
＃例を作る練習台としては面白いかも

kabaokaba · Answer

「位相の基底」の定義はそれでOKです．
＃No.1さんのご指摘のところ以外は．
けど・・・これは普通は「開基」（open basis）といいます．
こういう基本のところではきちんと訳語が定まっています．

つぎの「位相の基底から生成される位相」，普通は
「開基が定める（誘導する）位相」
（topology T generated/induced by open basis B）あたりかな，
の「解釈」は間違えです．

開集合Uというのを
Uの任意の元xに対して，Bのある要素Bが存在して
x∈b⊂Uとなるものと定め，このようなUの集合Tを
Bの定める位相というのです．
このとき，Tは普通の位相の定義をみたしますが
証明できますか？
例えば，実数Rに普通の位相をいれたとき，
開基Bに相当するものを構築できますか？

>Note that ezchd basis elements is etself an element of T.
Note that each basis elements is itself an element of T.
でしょうが，証明できますか？ほとんど自明ですが，
自明に見えますか？

つぎの「位相の部分基底(位相の基底の部分集合)」は
まったくの間違いです．
「位相の部分基底」なんてのも意味不明ですし，
「位相の基底の部分集合」・・・どこにもそんなこと書いてません．
あくまでの「subbasis」です．「subset of basis」ではありません．
これも訳語が定着してて「準開基」（open subbasis）といいます．

Xの部分集合族SがXの準開基であるとは
Sの元の和集合がXであることをいいます．
このとき，準開基Sが生成するXの位相T'とは
Sの要素の任意の有限個の共通部分の集合を開基としたときの
その開基が定める位相のことをいいます．
この定義がwell-definedであること，つまり
「Sの要素の任意の有限個の共通部分の集合」が開基になれることを
証明できますか？
また，たとえば実数Rに普通の位相をいれたときの，その位相に対する
「準開基」を構築できますか？

英文の定義はあまり正確ではないというか
「the collection T of all unions of finite intersectoins of elements of S.」の of all unions と collection Tが謎です．T'の話してたのにいきなりTです．多分，何かの追加説明が省かれているのでしょう．

No.1さんご指摘の通り，むやみやたらに記号化しても
無意味ですし，分かってる人は記号化すると分かりやすいときに
記号化するものです．

ojisan7 · Answer

Xの位相の基底の定義はそれでいいと思います。
ただ、B∈2^Xではなく、B⊂2^Xですよね。

>>T(∈2^X)はXの位相の基底Bから生成される位相
>>⇔(def)
>>∃U∈T such that (x∈U⊂X⇒∃b∈B;x∈b且つb⊂U)
この部分はちょっと不自然ですよね。そもそも、「位相の基底Bから生成される位相」というのがおかしい。そうではなく、基底Bから、位相を生成するということです。位相は最初から与えられたものではなく、基底Bから生み出されるものです。それから、∃U∈Tという部分もなんか変な感じですね。そうではなく、「such that 以下の条件を満たすU∈Tを開集合といいましょう」ということです。
それから、ezchdの意味は不明です。etselfはitselfの間違い？  

最後に、部分基底の定義ですが、質問者さんは記号だけで書いていますから、どこまで理解しているのか、私にはさっぱり分かりません。数学は言葉で説明できる部分は、言葉で記述するのが原則です。抽象的な記号を羅列する人に限って、往々にして本質を理解していないものです。

基底Bで生成される位相と部分基底で生成される位相の定義について質問

なかなかに頑固というか・・・

>これは最初に位相を与えてあります。

この回答への補足

＞「Xを集合とする。

>集合Xに対してどんな位相Tに対してもBは一意的に定まる(?)。

「位相の基底」の定義はそれでOKです．

Xの位相の基底の定義はそれでいいと思います。

この回答への補足

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