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関数f(x)=2x^3+3px^+3px-3p^/2は、x=αで極大値f(α)を、x=βで極小値f(β)をとる。ただし、pは実数とする。

という問題で、

1)pのとりうる値の範囲を求めよ。 A. p<0,2<p
2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^

まではできました。答えもあっているはずです。ですが、

3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。

という問題がどうしても解けません。
どなたかご教授下さい。お願いします。

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A 回答 (4件)

中点の軌跡の座標を (X , Y) とすると、


X = ( α + β ) / 2
Y = ( f(α) + f(β) ) / 2

α + β = - p
f(α) + f(β) = 問 2)より、

上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。
また、問 1) の p の範囲から、x の範囲も考慮する必要があります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>上 2 式から、p を消去すれば、軌跡の方程式が求まります。

というのがわかりません;
詳しく説明お願いします。すみません。

お礼日時:2008/09/01 23:47

>3)2点(α,f(α)),(β,f(β))を結ぶ線分の中点の軌跡を求めよ。



2)f(α)+f(β)をpを用いて表せ。 A.f(α)+f(β)=p^3-6p^ がヒントになっているのは承知の上で。。。。。。。。笑

f´(x)=2x^2+2px+pであるから、f´(x)=0の2つの解がαとβであるから、解と係数の関係より、α+β=-p、αβ=p ‥‥(1)
恒等式:f(x)=(2x^2+2px+p)*(x+p/2)+(2p-p^2)*x-2p^2より、f(α)=(0)*(α+p/2)+(2p-p^2)*α-2p^2、f(β)=(0)*(β+p/2)+(2p-p^2)*β-2p^2であるから、f(α)+f(β)=(2p-p^2)*(α+β)-4p^2=p^3-6p^‥‥(2)

2x=α+β=-p、2y=f(α)+f(β)=p^3-6p^であるから、パラメーターであるpを消去すると、y=-4x^3-12x^2.
但し、p>2、p<0であるから、x<-1、x>0の部分。
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X = - p / 2


  ⇒ p = - 2X これを
「Y = 問2) / 2」の p に代入すれば、p が消去でき、X , Y だけの式になります。

また、問1) の「p < 0 , 2 < p」に p = - 2X を代入すれば、
  -2 X < 0 , 2 < -2X
⇒ X > 0 , X < - 1
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こんばんは。



中点のx座標は、2つのx座標の平均値。
中点のy座標は、2つのy座標の平均値。

ですから、
中点の座標は、
( (α+β)/2 , (f(α)+f(β))/2 )

これを手がかりに解けると思いますが・・・

・・・という回答でよいのでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2008/09/02 19:36

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