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非ユークリッド幾何の世界の三角形の内角の和はπより小さいことが分かっています。
また、三角形の面積は、
「π-(A+B+C)」と定義されています。
A、B、Cとは、三角形のそれぞれの頂角の大きさです。

この定義を使用して、「三角形をどのように三角形に分割しても、細分三角形の面積の和は元の三角形の面積になる」ことを示したいのですが、うまくいきません。

たとえば、3つの角の大きさがα、β、γの三角形を2つに分割(頂点Aから対辺に直線をひく)したとき、それぞれの三角形の角の大きさは、α1、β、δ1と、α2、γ、δになります。

つまり面積で表すと、
π-(α1+β+δ1)とπ-(α2+γ+δ2)となります。
この二つの面積を足すと、
2π-(α1+α2+β+γ+δ1+δ2)となり、ここで、
α1+α2=α δ1+δ2=πより、
π-(α+β+γ)と整理できて、もとの三角形と同じ面積だということがわかります。

これを、一般的に示したいのです。

まず、私が考えたのは、「三角形の分割の仕方」でした。
三角形を分割することによって角が分割されます。
角が分割される場所は(1)頂角 (2)辺 (3)頂角とも辺とも交わらないところ です。
(1)で分割され角を足すと、元の三角形の頂角の和になります。(さっきの例でいうとα1+α2=α)
(2)で分割された角を足すとπの倍数になります。(さっきの例でいうとδ1+δ2=π)
(3)で分割された角を足すとπの倍数になります。

ここまで考えたのですが、(1)と(2)と(3)を足してうまくいくのかわかりません。アドバイスお願いします!!

A 回答 (1件)

2つに分割する場合が証明できているので,


帰納法を使うというのではダメでしょうか?

ちなみに
> 非ユークリッド幾何の世界の三角形の内角の和はπより小さいことが分かっています。
これは曲率が負の双曲幾何学の場合で,
曲率が正の楕円幾何学の場合は
 A + B + C
がπを超えるので,三角形の面積は
 A + B + C - π
となります.
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