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「 (b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c のとき、この式の値を求めよ。 」という問題です。

式の値をkとおいて
b+c=ak, c+a=bk, a+b=ck  ・・・(1) から
2(a+b+c)=(a+b+c)k ・・・(2)となり、a+b+c=0かどうかで場合分けして解きますよね
それで、模範解答ではa+b+c=0のときは、b+c=-a から、最初の式に代入してk=-1となり終わっているのですが
a+b+c=0じゃないとき(2)から k=2 で、そのあと
「このとき、(1)を解くとa=b=cであり、abc≠0 とすることができる。」
とあるのですが、これはどういった意味だかわからなくて困っています。
この確認は必要なんでしょうか?  書いてあるくらいだから必要なんだろうと思いますがだとしたらなぜ必要なんでしょうか?

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A 回答 (4件)

> a+b+c=0のときは、b+c=-a から、最初の式に代入してk=-1となり


この計算をするときに、a≠0、b≠0、c≠0(つまり、abc≠0)という条件の中で解くことになるので、得られた答えであるk=-1のとき、abc≠0という条件は満たされていることになります。
これに対し、
> a+b+c=0じゃないとき(2)から k=2
> そのあと「このとき、(1)を解くとa=b=cであり
この計算のときにはabc≠0という条件が出てきません。従って、元の式の条件となっているabc≠0の場合に成立するかどうかを示す必要があるということだと思います。
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この回答へのお礼

k=-1のときとk=2のときで片方だけ確認が必要な理由がなんとなくわかりました。
k=2のほうは a≠0、b≠0、c≠0 が前提となる式を使わずに解いているので確認が必要というようなことでしょうか
ご回答ありがとうございました

お礼日時:2008/09/16 17:24

加比の理というものがある。

下のURLを参照すると良い。

http://www.weblio.jp/content/%E5%88%86%E6%AF%8D# …

それを使うと、実に簡単。但し、生兵法は怪我の元。使うには十分注意が必要。

(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/cより加比の理を使うと、P=2*(a+b+c)/(a+b+c)であるから、a+b+c=0の時と、a+b+c≠0の時とに分ければ良い。

やってる事は結局同じだが。。。。。。笑
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました  そんなものがあるんですか 初めて知りました

お礼日時:2008/09/16 16:23

>>  abc≠0 が大前提なのに、


>>  a+b+c=0のとき、k=-1となり終わっているのに、
>>  a=b=c のときの、ときk=2 で終わらずに、
>>     abc≠0を注意書きとしてあるのは奇妙。

確かに奇妙です。一貫性からいうと、

(1)
 a+b+c=0、(abc≠0)のとき、k=-1。
 a=b=c、(abc≠0)のとき、k=2。
(2)
 a+b+c=0、のとき、k=-1。
 a=b=c、のとき、k=2。

(1)でも、(2)でもokです。

模範解答/解説の意図は、
条件a+b+c=0と条件a=b=cが重複していないことを示すために、
条件a=b=c、に abc≠0を追加しています。
読者によっては、
(親切)と思うか、(何も感じない)か、(余計な、お世話)と思うか。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました
a=b=cのとき というかきかたでもいいんですね?

お礼日時:2008/09/16 17:29

必要です。


a+b+c≠0のとき、a,b,cいずれかが0である必要が生じる(仮にa=0としましょう)と、
(b+c)/a の÷aが「÷0」となるので、式自体が成り立たないことになります。この場合、答えとして不適となります

なので、
「a≠0かつb≠0かつc≠0」と同値である「abc≠0」をとることができるかを確認する必要があり、今回はa=b=c=1のようにして、abc≠0の場合が存在するのでa+b+c≠0のときk=2が答えとして適することになります。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
a≠0かつb≠0かつc≠0 の意味で abc≠0 だったんですね 気づいてませんでした・・・
なるほどkの値をだしてabc=0じゃなくてはいけなくなったら不適になってしまいますね
kの値をだしてそれでabc≠0を満たさなくなってしまうこともあるんですか?

お礼日時:2008/09/16 17:04

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(2)b+c/a=c+a/b=a+b/cのとき、この式の値を求めよ。
答案
b+c/a=c+a/b=a+b/c=k とおくと
b+c=ak, c+a=bk, a+b=ck.....1
辺々を加えると 2(a+b+c)=(a+b+c)k
[1]a+b+c≠0のとき k=2
このとき,1を解くとa=b=cであり、abc≠0とすることができる。
[2]a+b+c=oのとき b+c=-a
よって k=b+c/a=-a/a=-1
答 a+b+c≠0のとき2,a+b+c=0のとき-1
例題19の下の練習27
a+1/b+c+2=b+1/c+a+2=c+1/a+b+2のとき、この式の値を求めよ。
分母は0でないから
b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0
a+1/b+c+2=b+1/c+a+2=c+1/a+b+2=kとおくと
a+1=k(b+c+2).....1
b+1=k(c+a+2).....2
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Aベストアンサー

当方、赤チャートを持っていないので、抜けや間違いがあったらごめんなさい。

★質問1に対して
例題19(2)に関しては、2(a+b+c)=(a+b+c)kとしてからの扱いが問題になります。
ここで、k=の形にするために、両辺を(a+b+c)で割って、
k=2*(a+b+c)/(a+b+c)=2……(☆)
としてしまう、というのがよくあるミスです。
変数を含んだ式で割るときには、常に「ゼロ除算」の可能性を考慮する必要があります。
(a+b+c)≠0、つまり分母≠0のとき([1]の場合ですね)には、(☆)の計算が成り立ちます。
しかし、(a+b+c)=0、つまり分母=0のとき([2]の場合ですね)には、(☆)の計算は間違いになってしまい、別の方法によって答えを求める必要があるのです。
[2]で分母≠0の確認がなかったのは、分母が0の場合を考えているからなのです。

★質問2に対して
練習27でk=1/2の場合には、与式の分母≠0(b+c+2≠0,c+a+2≠0,a+b+2≠0)なので、改めて分母≠0を確認する必要がありません。他に変数を含んだ式での除算を行っている場所がないですね。

★質問3に対して
与式はa,b,cに対して対称だから、aについて成り立っていれば他も成り立つだろう、と言ってしまえば当たり前だと思うんですが、この場合には一応確認しておくほうが丁寧なのでしょうね。
ここでは、a≠-1(または、b≠-1,c≠-1)を明示することを重要視しているのだと思います。
a=-1だと、
a+1=k(b+c+2)、b+c+2≠0
より、k=0になって破綻してしまいますしね。(b=-1、c=-1に対しても同様)

当方、赤チャートを持っていないので、抜けや間違いがあったらごめんなさい。

★質問1に対して
例題19(2)に関しては、2(a+b+c)=(a+b+c)kとしてからの扱いが問題になります。
ここで、k=の形にするために、両辺を(a+b+c)で割って、
k=2*(a+b+c)/(a+b+c)=2……(☆)
としてしまう、というのがよくあるミスです。
変数を含んだ式で割るときには、常に「ゼロ除算」の可能性を考慮する必要があります。
(a+b+c)≠0、つまり分母≠0のとき([1]の場合ですね)には、(☆)の計算が成り立ちます。
しかし、(a+b+c)=0、つまり分母=0...続きを読む


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