虚数単位iについてですがオイラーの式を利用してi^i(つまりiのi乗)の値を教えてください。途中の計算過程も記入してください。お願いします。

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A 回答 (1件)

複素数の巾関数は z^a = exp(a log(z))と定義するので


i^i = exp(i log(i)) です。
log i = (π/2 + 2 n π) i (n は整数)
を使えば直接計算できます。普通は主値を考えるのでn=0
とします。

オイラーの式を使うのなら定義通りに
i^i = exp(i log(i)) = cos (log(i)) + i sin (log(i))
としても同じように計算できます。log i に上の
値を代入すればそのまんまです。その際
sin(ix) = i sinh(x) と cos(ix) = cosh(x)
を使うとすっきりした形になります。
sinh(x)とcosh(x)は双曲線関数と呼ばれるもので解析学の教科書には
必ず出ているので知らなければ調べて下さい。

どちらにしても結果は
exp(-π/2)
になります。

レポートのようなのでこれ以上細かくは書きませんが、
そうでなくて本の問題を勉強をしているのだが本に回答がなくて
どうしても分からないというような場合でしたら補足して下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。実は結構急ぎの問題だったので本当に助かりました。私は、初めて質問させていただいたのですが、あまりの速さとこちらの求めている内容の正確さに、感動しました。
 本当にありがとうございます。

お礼日時:2001/02/22 12:15

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Q虚数から見ると実数は虚になるのでしょうか

虚数と実数では虚数のほうが初めにあったのではないかと根拠もなく、想像(空想)しています。生物学ではRNAとDNAのような感じです。それとも虚数と実数は同時に存在を始めたのでしょうか。歴史からは実数のほうが先に認知されたとのことですが、虚数の世界から見れば実数の世界は虚の世界というようなことはないのでしょうか。実数がなくても虚数だけでi^2で負数、i^4で正数を表せるのに反し、少なくとも正数では虚数を表現できないとすればやはり虚数のほうが先かとも思うのですが・・・

Aベストアンサー

話を純虚数に絞ります。

私も似たような空想をしたことがあります。
純虚数と実数とは、まったく対称なのではないかと。

しかし、ちょっと考えたら、そうでないことに気づきました。

実数同士の掛け算、割り算は、やはり実数になるのに対して、
純虚数同士の掛け算、割り算は、純虚数ではなく実数になります。
純虚数の世界だけで、加減乗除の体系を作ることができないわけです。

ですから、
両者は対称ではない、つまりは、
「純虚数から見て実数は純虚数に見える」わけではない、
と考えました。


ついでに一言。
1つの実数ないしは複素数x+iyをX-Y座標系の1点としてプロットしたとしましょう。
この実数ないしは複素数に虚数単位iを掛け算すると、さっきの1点は原点に近づくことも遠ざかることもなく、原点の周りにちょうど90度くるりと回ったところの点になります。
iを掛けるということは、大きさを変えるということではなく、回すということ、なんですね。

Qi^i^i^i…の極限

暇つぶしに、googleで、
i^i= 0.207879576
i^i^i=i^(i^i)=0.947158998 + 0.32076445 i
i^i^i^i=i^(i^(i^i)) = 0.0500922361 + 0.602116527 i


と計算をやってみて、それぞれの点を複素平面にプロットしていったところ、
複素平面上でぐるぐると回っていき、最終的に
i^i^i^i^i^i^…=i^(i^(i^(i^(i^(…)))))
は、ある一定値に近づいていきそうなことがわかりました。
だいたい、
i^i^i^i^i^i^…=0.4383+0.36059i
なのですが、この値を簡単な数式(e、π、√、logなど)
であらわすことは可能でしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

面白そうだったので,やってみました.

複素数 u の複素数 c 乗は
(1)  u^c = exp(c log(u))
が定義ですが,log(u) のところが多価関数です.
ここは主値をとることにして(質問の計算がそうなっています),
今は u = i ですから log(i) = iπ/2 です.
n 回目の値を z_n とすると,漸化式が
(2)  z{n+1} = i^(z_n) = exp{iπz_n/2}
です.
極限値を z と書くと,z は(2)で z_n=z_{n+1}=z とおいた
(3)  z = exp{iπz/2}
を満たします.
(4)  z = x + iy
として実数 x, y に対する連立方程式にしますと
(5)  x = exp(-πy/2) cos(πx/2)
(6)  y = exp(-πy/2) sin(πx/2)
になります.
(6)÷(5)で
(7)  y = x tan(πx/2)
がわかりますから,x 単独の方程式
(8)  x = exp{-(π/2) x tan(πx/2)} cos(πx/2)
になりますが,一見して解析解は求まりませんね.
Mathematica でも試しましたが,ダメでした.
というわけで rndwalker7 さんのご希望通りにはなりません.
数値計算で解くのは容易で
(7)  x = 0.438283
(8)  y = 0.360592
が数値解で,rndwalker7 さんの質問文の予想と同じものが得られます.

面白そうだったので,やってみました.

複素数 u の複素数 c 乗は
(1)  u^c = exp(c log(u))
が定義ですが,log(u) のところが多価関数です.
ここは主値をとることにして(質問の計算がそうなっています),
今は u = i ですから log(i) = iπ/2 です.
n 回目の値を z_n とすると,漸化式が
(2)  z{n+1} = i^(z_n) = exp{iπz_n/2}
です.
極限値を z と書くと,z は(2)で z_n=z_{n+1}=z とおいた
(3)  z = exp{iπz/2}
を満たします.
(4)  z = x + iy
として実数 x, y に対する連立方程式に...続きを読む

Q虚数の意味と意義

おそらく、高校の時の数学で、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。
最近、量子論や量子力学などを勉強しているのですが、虚数というものが必要であることをしり、改めて考えてみたくなりました。

一、虚数は誰がいつ、何のために考えたのか。
二、虚数の出現の背景。
三、虚数の意味するところ。
四、虚数はなぜ必要か。
五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

数学が得意でなく、文系の学問をしているので、わかりやすいHPや本、あるいは説明してくださるがおりましたら、ご教授下さい。一項目だけでも答えてくださるとうれしいです。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか。

 位相空間上の方向・・・というか・・

この話、図を描かないと丁寧な説明ができない
のですが・・・

 オイラーの式というのをどこかで、探して
みて下さい。虚数が三角関数を通じて
回転と結びついていることが分かると
思います。

 そして、どこかでメビウスの帯、若しくは
メビウスの輪というのを探して下さい。

 メビウスの帯びの上に1本の針を置くこと
を想像してみてください。帯びの方向に
ころころ転がしていくのです。
メビウスの帯は途中でねじれているので、
帯を1周すると、針の方向が上向きから
下向きになっていることが分かると
思います。

 これが回転すると1からー1に符号が
変わるオイラーの式の意味するところで、
オイラーの式で、角度を90°とし
2回かけるとー1になることと
関連しています。

 すいません、言葉でうまく説明できません。

>、虚数(二乗するとー1)になるというのは、勉強したのですが、その意味するところがわかりませんでした。

 受験数学では意味は教えないんですよ。
ただそうゆうものと覚えろと言われたはずです。

 これですね、目の前で沢山、絵を描いて
説明できると非常に明解だと思うのですが・・・

>量子論や量子力学などを勉強しているのですが、

 周期運動するものの差、つまり位相差を
表現するのに使われますよね。これがミソ
だと思います。

>五、虚数とはどういう事態を説明するものなのか...続きを読む

Q(e^x)^i と (e^i)^xは同じものですか

オイラーの公式の左辺はe^(ix)と書かれていますが表題のような質問は成り立つのでしょうか。

Aベストアンサー

指数関数の分岐をどうとるかによって違ってきます。
たとえば次の式はどこがおかしいのか「定義に忠実に従って」考えてみてください。
xを実数とするとき
e^(ix)=(e^i)^x={(e^i)・(1)}^x=(e^{i+2πi})^x=e^(ix)e^(2πix)
よりe^(2πix)=1、従ってオイラーの公式から任意の実数に対して
e^(2πix)=cos(2πx) + isin(2πx)=1
である。

Q虚数は存在するか?

虚数は存在するのでしょうか?しないのでしょうか?

私の個人的なイメージでは
「2乗して-1になる数なので、実世界上の具体例としては存在しないけれども、複素平面上には存在する数」
なんです。
このように考えて、「虚数は存在する」と、とらえることはできませんか?

虚数を定義した人は、なんと言っているのでしょうか?

Aベストアンサー

かなり昔に得た知識なので詳細は定かではありませんが、
虚数は「存在する」ようです。
もっとも、「極小の世界で考えると」と言う注釈がつきます。

専攻が数学ではないので、「虚数 波動関数」などで調べてみてください。

Q(e^x)^i と (e^i)^x は同じもの?

全くわからないのですが、考えるヒントをいただければ幸いです。

Aベストアンサー

複素べきで考えると

(e^x)^i
=exp{ilog(e^x)}
=exp{i(log|e^x|+iarg(e^x)}
=exp{i(x+i(2nπ))}
=exp(-2nπ+ix)
(nは整数)

(e^i)^x
=exp{xlog(e^i)}
=exp{x(log|e^i|+iarg(e^i)}
=exp{x(0+i(1+2mπ))}
=exp(ix(1+2mπ))
(mは整数)

となります。

直接「答え」を求めようとせず参考URLの3.4、3.5
あたりをご覧になることをお勧めします。

参考URL:http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch3.pdf

Q虚数単位について

虚数単位について

なんで虚数単位の絶対値は1と言えるんでしょうか?
√(-1)の絶対値はどういうふうに計算したら1なんでしょうか?

Aベストアンサー

複素数 z の「絶対値」の定義は、
z と (z の共役複素数) の積の √ です。

虚数単位 i の共役複素数は -i ですから、
i の絶対値は、√1 になります。

Q数学の因数分解です。⑴ x^4-18x^2y^2+y^4⑵ x^4+4y^4です。途中式

数学の因数分解です。

⑴ x^4-18x^2y^2+y^4

⑵ x^4+4y^4

です。途中式も書いていただきたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

⑴ x^4-18x^2y^2+y^4
x⁴-18x²y²+y⁴
=(x⁴-2x²y²+y⁴)-16x²y²
=(x²-y²)²-(4xy)²
={(x²-y²)+4xy}・{(x²-y²)-4xy}
=(x²-y²+4xy)(x²-y²-4xy)

⑵ x^4+4y^4
=x^4+4y^4+4x^2y^2ー4x^2y^2
=(x^4+4x^2y^2+4y^4)ー4x^2y^2
=(x^2+2y^2)^2ー4x^2y^2

a^2ーb^2=(a+b)(aーb)を利用して
=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2ー2xy)

Q二乗して虚数になる数

虚数の計算をしていて疑問に思ったのですが、二乗して虚数になる数と言うのは存在しないのですか?

存在しないのだとしたら、何故存在しないのですか?

Aベストアンサー

質問の文章表現はあなたの気持ちを表していない
と考えました。
 たぶん、X^2=ー1 から i
が出てくるのに
x^2=i から、複素数以外の新しい種類の数が出てこないのは
なぜか?  と言う質問でしょう。
答えは、 複素数が代数閉体だから です。
意味は、複素係数の方程式の答えは複素数である。 ということ
よって、新しい種類の数は代数方程式の解としては出てこない。

Q次の数を大小順に並べろ (1)2^36,3^24,6^12 (2)3の4乗根、5の6乗根、7の7乗根

次の数を大小順に並べろ
(1)2^36,3^24,6^12
(2)3の4乗根、5の6乗根、7の7乗根
(3)log3の2、log7の4、2/3
途中式をわかりやすく教えていただけると嬉しいです

Aベストアンサー

(1) 同じべき乗の形に統一すればよい。
  2^36 = 2^(3*12) = (2^3)^12 = 8^12
  3^24 = 3^(2*12) = (3^2)^12 = 9^12
  6^12
これで比べられますね。
  6^12 < 2^36 < 3^24

(2) 同じようにやればよい。
  3^(1/4) = 3^(21/84) = (3^3)^(7/84) = 27^(7/84) = (3^7)^(3/84) = 2187^(3/84)
  5^(1/6) = 5^(14/84) = (5^2)^(7/84) = 25^(7/84)
  7^(1/7) = 7^(12/84) = (7^4)^(3/84) = 2401^(3/84)
よって
  5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/7)

(3) これは2つずつ比をとってみればよいかな。

 log[3]2 = log(2)/log(3) = x
 log[7]4 = log(4)/log(7) = 2log(2)/log(7) = y
とおけば
 x/y = log(7) / 2log(3) = log(7) / log(9) < 1

 2/3=z とおくと
 x/z = (3/2)log(2)/log(3) = 3log(2) / 2log(3) = log(8) / log(9) < 1
 y/z = (3/2)log(4)/log(7) = 3log(4) / 2log(7) = log(64) / log(49) > 1

よって
 x<z<y → log[3]2 < 2/3 < log[7]4

(1) 同じべき乗の形に統一すればよい。
  2^36 = 2^(3*12) = (2^3)^12 = 8^12
  3^24 = 3^(2*12) = (3^2)^12 = 9^12
  6^12
これで比べられますね。
  6^12 < 2^36 < 3^24

(2) 同じようにやればよい。
  3^(1/4) = 3^(21/84) = (3^3)^(7/84) = 27^(7/84) = (3^7)^(3/84) = 2187^(3/84)
  5^(1/6) = 5^(14/84) = (5^2)^(7/84) = 25^(7/84)
  7^(1/7) = 7^(12/84) = (7^4)^(3/84) = 2401^(3/84)
よって
  5^(1/6) < 3^(1/4) < 7^(1/7)

(3) これは2つずつ比をとってみればよいかな。

 log[3]2 = ...続きを読む


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