平面方程式について

直線の方程式は
y=ax+bで
aは傾き、ｂはy軸との切片というのはわかるのですが

平面方程式の
z=ax+by+c
のa,b,cは何を表しているのでしょうか？
ご存知の方教えていただけないでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： Mnosan 回答日時： 2008/09/22 15:18

ａ：Ｘ軸方向の傾き

ｂ：Ｙ軸方向の傾き
ｃ：Ｚ切片

この式の場合平らな板状のものが空間に浮いていると考えられます
その板をＸ軸方向を基準に見たときの傾き（グラフ的には左から右）の傾きがａで、
Ｙ軸を基準に見たときの傾き（グラフ的には手前から奥）の傾きがｂです
ｃはＸ＝Ｙ＝0、つまりＺ軸上でのグラフの値なのでＺ切片です

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/09/22 19:40

こんにちは。

＃２様のご回答と一部ダブりますが、

ＸＺ平面というのは、方程式で書くと
ｙ＝０，　ｘ＝なんでもいい，　ｚ＝なんでもいい
です。

あまりいい図が見つからないのですが、こちらの図を見てください。
http://tez.com/blog/archives/000846/takeshi1.JPG
ＸＺ平面は、Ｘ軸とＺ軸の両方を内部に含む平面です。

ＸＺ平面の上に、ｚ　＝　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ　のグラフを描くと、
ｙ＝０　なのですから、
ｚ　＝　ａｘ　＋　ｃ
となり、傾きａ、ｚ切片ｃ　の直線となります。

同様に、ＹＺ平面上については、ｚ　＝　ｂｙ　＋　ｃ　となり、
傾きｂ、ｚ切片ｃ　の直線となります。

そして、上記の図において三角形のように見える平面を
方程式　ｚ　＝　ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｃ　の平面だと思ってください。

その平面はＸＺ平面を切断しますが、その切断線の方程式が、ｚ＝ａｘ＋ｃ　です。

同様に、その平面がＹＺ平面を切断する切断線の方程式が、ｚ＝ｂｙ＋ｃ　です。

ｚ切片ｃ、すなわち、Ｚ軸上で２つの直線が交わる場所のｚ座標が、
両者で一致していることは、図からもわかりますよね？


以上、ご参考になりましたら。

No.2 回答者： noname#70519 回答日時： 2008/09/22 16:56

z=ax+by+c を ax+by-(z-c)=0 とし

Z=z-c と座標変換して
ax+by+(-1)Z=0 と変形します。。
すると、この式は、ベクトル(x,y,Z)が
ベクトル(a,b,-1) と直交していることを示しています。

つまり、(x,y,Z) はベクトル(a,b,-1)に直交する平面の
式を示しています。

x=0、y=0 の時、Z=0、元の座標で見ると、z=c ですから
この平面は (0,0,c) を通ることが分かります。

x=0 のとき、つまりy-z 平面上では、by+(-1)Z=0 ですから
y-z 平面における勾配は b であり
y=0 のとき、同じようにして ax+(-1)Z=0 より
x-z 平面における勾配が a であることが分かります。