オープンループゲインとクローズループゲインの関係を教えて下さい。

Question

オープンループゲインの周波数特性は、オペアンプの種類によって決まり
クローズループゲインの周波数特性は、フィードバック抵抗、容量に決まるものですが、でも一般的にオープンループゲインの小さくなる周波数帯は使えないような話を聞きます。
ではこれらにはどういう式が成り立つのでしょうか？

どなたか教えて下さい。

inara1 · Accepted Answer

寄生容量を無視したときのオープンループゲインとクローズドループゲインの関係は参考URLの ANo.2&3 で説明されていますが、もう少し簡潔に説明してみます。

【オープンループゲインの周波数特性】
図１は、オペアンプのオープンループゲインの周波数特性を簡略化したものです。

　　　 ln(A)
　　　 ↑
　　　 ├─　A = A0
　　　 │　　　＼
　　　 │　　　　　＼
　　　 ｜　　　　　　　＼ A = 1
　　　 ｜　　　　　　　　　＼
　　　 └─┼───-┼─→ 周波数
　　　　　　f1　　　　　　f2 = GB積　　　　【図１】

オープンループゲインは、周波数が低いところでは一定値 A0 ですが、ある周波数 f1 から小さくなり始めて、f2 で 1 となるような特性になります。図の縦軸は A の対数になっていることに注意してください。傾斜部分が直線になっていますが、これは周波数が10倍になると A が1/10 になるという関係を表わしています。傾斜部分ではA と周波数の積が一定になっています。この積のことを利得周波数積（GB積：Gain Bandwidth積）といいます。A*f = GB積 なので、A = 1 となる周波数がGB積になります（現実のオペアンプでは、周波数の高い領域での傾斜部分が直線からはずれ、A=1となる周波数とGB積が異なることがあります）。汎用OPアンプでは A0 = 10万（直流電圧を10万倍増幅できる）、GB積 = 1MHz 程度の値ですから、f = 10kHz のとき A = 1000、f = 100kHz のとき A = 100 程度の値になります。図１の特性を式で表わすと次のようになります。

　　　A = A0/{ 1 + j*f*√( A0^2 - 1 )/GB積 } --- (1)
　　　|A| = A0/√{ 1 + f^2*( A0^2 - 1 )/GB積^2 }

最初の式は位相特性も含めた複素利得で、２番目が利得の大きさです。f = 0 のとき A = A0、f = GB積のとき |A| = 1 になります。

【クローズドループゲインの周波数特性】

　　　　　　　 ┏━┓　　　　　　　　　　　　　　　　　　┌ Rf ─┐
　　Vin ──┨+　┠┬─ Vout　　　　　　　　　　　│┏━┓│
　　　　　　┌┨-　┃│　　　　　　　　Vin ─ Rs ─┴┨- ┠┴─ Vout
　　　　　　│┗━┛│　　　　　　　　　　　　　　　　 ┌┨+　┃
　　　　　　├─ Rf -┘　　　　　　　　　　　　　　　　│┗━┛
　　　　　　Rs　　　　　　　　　　　　　　　　────┴───── GND
　　　　 ─┴───── GND
　　　　非反転増幅回路　　　　　　　　　　　　　　反転増幅回路　　　　　【図２】

図２のように、帰還抵抗をつけて増幅器を構成したときの全体の利得（クローズドループゲイン）は次式で表わされます。

　　非反転回路　Vout/Vin = 1/( β  + 1/A )  --- (2)
　　反転回路　　 Vout/Vin = - ( 1 - β )/( β  + 1/A )  --- (3)
　　　　　　　　　　　β = Rs/( Rs + Rf )

β は帰還率と呼ばれるもので、出力端子から入力側に戻される信号の大きさの割合を表しています。式(1)を、式(2),(3)の A に代入すれば、クローズドループゲイン Vout/Vin の周波数特性になります。計算方法は省略しますが、クローズドループゲインの大きさの周波数依存は以下のようになります。

　　非反転回路　　|Vout/Vin| = ( 1 + Rf/Rs )/√[ { 1 + ( 1 + Rf/Rs )/A0 }^2 + { ( 1 + Rf/Rs )*f/GB積 }^2 ] --- (4)
　　反転回路　　　 |Vout/Vin| = Rf/Rs/√[ { 1 + ( 1 + Rf/Rs )/A0 }^2 + { ( 1 + Rf/Rs )*f/GB積 }^2 ]　　　 --- (5)

図３の破線はクローズドループゲインの周波数特性ですが、これはオープンループゲインより必ず小さくなります（寄生容量を無視した場合）。

　　　 ln（利得）
　　　 ↑
　　　 ├─
　　　 │　　　＼ ← |A|　オープンループゲイン
　　　 │　　　　　＼
　　　 ├ - - - - - ＼ ← |Vout/Vin|　クローズドループゲイン
　　　 ｜　　　　　　　　　＼
　　　 └────┼───→ 周波数
　　　　　　　　　　　fc　　　　　　　　　　　　　【図３】

周波数が低いときのクローズドループゲイン（破線部分）は、式(4),(5)で f = 0 としたときの値で

　　非反転回路　　|Vout/Vin| = ( 1 + Rf/Rs )/{ 1 + ( 1 + Rf/Rs )/A0 } 
　　反転回路　　　 |Vout/Vin| = Rf/Rs/{ 1 + ( 1 + Rf/Rs )/A0 } 

となります。普通は 1 >> ( 1 + Rf/Rs )/A0 なので、以下のように近似できます。

　　非反転回路　　|Vout/Vin| ≒ 1 + Rf/Rs
　　反転回路　　　 |Vout/Vin| ≒ Rf/Rs

これは理想オペアンプの利得の式です。

「一般的にオープンループゲインの小さくなる周波数帯は使えない」というのは、図３で、クローズドループゲイン（破線）がオープンループゲインにぶつかる周波数 fc より高い周波数領域を言います。この領域ではクローズドループゲイン＝オープンループゲインとなるので、周波数に反比例して利得が低下してしまいます。

参考URL：http://sanwa.okwave.jp/qa4078817.html

inara1 · Answer

AN.5を訂正します
【誤】　GB積 >> 1/( 2*π*Cf*Rf ) とはいえない場合には、IV変換ゲインの周波数特性は式(1)を使わなければなりません。
【正】　GB積 >> 1/( 2*π*Cf*Rf ) とはいえない場合には、IV変換ゲインの周波数特性は式(3)を使わなければなりません。

inara1 · Answer

＞このページを見ると1/2πR_FC_Fと書かれてあるのですが
これは理想オペアンプの場合ですが、オペアンプのGB積が fp = 1/( 2*π*Cf*Rf ) より充分大きければ、変換ゲイン Vout/I の周波数特性が落ち始める周波数が fp になります。

　ゲイン（対数）
　　↑
　　│＿＿＿＿＿
　　│　　　　　　　　＼ ← IV変換ゲイン（Vout/I）
　　｜　　　　　　　　　　＼
　　｜
　　｜＿＿＿＿／￣￣￣　← ノイズゲイン
　　｜
　　└───-┼┼───→ 周波数（対数）
　　　　　　　　　fz fp

理想オペアンプでなく、現実のオペアンプを使った場合、下のようなＩＶ変換器の変換ゲインの周波数依存は次式で表わされます。

　　　　┌── Cf ──┐
　　　　├── Rf ──┤
　I →　│　　 ┏━┓　│
　──┼──┨- ┠─┴─ Vout
　　　　│　 ┌┨+ ┃
　　　　Cs　│┗━┛
　　　　┷　 ┷　GND

　　　Vout = -Rf*I/( A + j*B )
　　　| Vout/I | = Rf/√( a^2 + b^2 ) ---- (3)
　　　　　　　　a = 1 + 1/A0 - 2*π*f^2*( Cs + Cf )*Rf*√( 1 + 1/A0^2 )/GB
　　　　　　　　b = f*[ √( 1 + 1/A0^2 )/GB + 2*π*{ Cs/A0 + ( 1 + 1/A0 )*Cf }*Rf ]

I  は入力電流  [A]、Vout は出力電圧 [V] 、A0 はオペアンプのDCゲイン [倍]、GBは利得帯域幅積 [Hz] です。

理想オペアンプでは A0 → ∞、GB → ∞ ですから、a = 1、b = 2*π*f*Cf*Rf となります。このときのIV変換ゲインの大きさは
　　　| Vout/I | = Rf/√{ 1 + ( 2*π*f*Cf*Rf  )^2 }
となります。このIV変換ゲインのカットオフ周波数（DCでのIV変換ゲインが3dB落ちる周波数）は、f = 1/( 2*π*Cf*Rf )  です。この周波数は、ANo.3 で計算した fp と同じです。GB積 >> 1/( 2*π*Cf*Rf )  とはいえない場合には、IV変換ゲインの周波数特性は式(1)を使わなければなりません。

式(3)を計算するのは大変でしょうから、これをExcelのマクロで計算する方法を以下に書いておきます。周辺素子の値やオペアンプの特性によって、IV変換ゲインの周波数特性がどのようになるかグラフを描いてみてください。式(1)の変換ゲインの他に、理想オペアンプでのIV変換ゲイン、ANo.3のノイズゲイン（理想オペアンプでない場合）、オペアンプのオープンループゲインのユーザ関数も作っておきました。

【付録】 Excel VBA によるIV変換ゲインの計算法（Excel2002の場合）
Excel のメニューバーの [ツール] → [マクロ] → [Visual Basic Editor] → [挿入] → [標準モジュール] で出た空白のコード画面に以下のプログラムをコピー&ペーストで貼り付け、Excelシートに戻って、セルに　= IVgain( Cs, Rf, Cf, A0, GB, f )　と書けば、式(1)のIVゲインが計算できます（ カッコの中はその値が書かれているセルの位置を表わしています）。Cs と Cf の単位はF、Rf の単位はΩ、A0 はdB単位でなく 10^5などの倍数、GB と f の単位は Hz としてください。 IVgain( ) に入力電流 I  [A] をかけたのが出力電圧 Vout  [V] になります。

↓ここから
Const pi As Double = 3.14159265358979
' ------------ 実際のオペアンプのIVゲイン
Function IVgain(Cs, Rf, Cf, A0, GB, f)
Dim A, B
A = 1 + 1 / A0 - 2 * pi * f ^ 2 * Sqr(1 - 1 / A0 ^ 2) * (Cs + Cf) * Rf / GB
B = f * (Sqr(1 - 1 / A0 ^ 2) / GB + 2 * pi * (Cs / A0 + (1 + 1 / A0) * Cf) * Rf)
IVgain = Rf / Sqr(A ^ 2 + B ^ 2)
End Function
' ------------ 理想オペアンプのIVゲイン
Function IVgain0(Rf, Cf, f)
IVgain0 = Rf / Sqr(1 + (2 * pi * f * Cf * Rf) ^ 2)
End Function
 ' ------------ 実際のオペアンプのノイズゲイン
Function Ngain(Cs, Rf, Cf, A0, GB, f)
Dim A, B, C, D
A = 1: B = 2 * pi * f * (Cs + Cf) * Rf
C = 1 + 1 / A0 - 2 * pi * Sqr(1 - 1 / A0 ^ 2) * f ^ 2 * (Cs + Cf) * Rf / GB
D = f * (Sqr(1 - 1 / A0 ^ 2) / GB + 2 * pi * ((Cs + Cf) / A0 + Cf) * Rf)
Ngain = Sqr((A * C + B * D) ^ 2 + (B * C - A * D) ^ 2) / (C ^ 2 + D ^ 2)
End Function
 ' ------------ オペアンプのオープンループゲイン
Function OpenLoop(A0, GB, f)
OpenLoop = 1 / Sqr(1 / A0 ^ 2 + (1 - 1 / A0 ^ 2) * (f / GB) ^ 2)
End Function
↑ここまで

（Excelのセキュリティーレベルの設定）
Excelのセキュリティーレベルが「高」になっていると、マクロを含むファイルを開いたときに、マクロを使っているという警告が出てマクロを使うことができません。その場合、警告ダイアログでOKをクリックした後、以下の手順でセキュリティーレベルを「中」に変更してください（Excel2002の場合）。
　　メニューバーの [ツール] → [オプション] → [セキュリティー]タブ → [マクロセキュリティー] → [中] を選択 → OK → OK
セキュリティーレベルを「中」に変更した後にファイルを開くと、マクロを使っているという注意が出ますが、「マクロを有効にする」を選択すればマクロを使うことができます。

inara1 · Answer

＞オープンループゲインは電圧-電圧変換のゲインを表していますが、IVコンバーターの場合はどうなるのでしょうか？
IVコンバーターは電流を電圧に変換しているので、電圧-電圧変換のゲインは関係ないのでは？という疑問でしょうか。IVコンバーターでもオープンループゲインの周波数特性が関係します。以下のIVコンバーターの変換ゲイン Vout/I の周波数特性を知りたいということでしょうか（計算できます）。

　　　　┌── Cf ──┐
　　　　├── Rf ──┤
　I →　│　　 ┏━┓　│
　──┼──┨- ┠─┴─ Vout
　　　　│　 ┌┨+ ┃
　　　　Cs　│┗━┛
　　　　┷　 ┷　GND

inara1 · Answer

＞ピークトップの周波数を表す式の中にはアンプの固有の値であるオープンループゲインは出てこないのですが、これはどういうことなのでしょうか？

fp はピークトップの意味ではありません（意味は以下で説明します）。オープンループゲインが出てこないのは、その周波数領域で「ノイズゲイン << オープンループゲイン」が成り立っている場合を想定しているからです。

BUCHURUN さんの資料では、ノイズゲインがオープンループゲインの傾斜部分と重なっている点が fp であるかのように描かれていますが、それは誤解を招きやすい描き方です。ノイズゲインに関しては過去の質問 [1] にもありますが、ここで使った資料 [2] のほう（図３）を見てください。

資料 [2] の図３では Rs という抵抗が入っていますが、これはフォトダイオードの並列抵抗に相当するもので、無視して良いのなら Rs → ∞ としても不都合はありません。図３のωp が fp に相当するものですが、この周波数は、ノイズゲインが高周波側で飽和し始める周波数のことで、ピーク周波数ではありません（ピークは ωp2 のほう）。低周波でのノイズゲインは Rs と Rf の比できまる値（ 1 + Rf/Rs ) になっていますが、周波数が高くなるに従って、図2の Cs（オペアンプの入力容量）と帰還容量 Cf によって構成される経路が支配的になってきて、高周波ほどノイズゲインが高くなっていきます（ Cs/Cf > Rf/Rs の場合）。さらに周波数を高くすると、このコンデンサだけでノイズゲインが決まり 1 + Cs/Cf のところで一定値になります。fp というのは、ノイズゲインが 1 + Cs/Cf にほぼ達する周波数のことです。周波数が fp より高い領域ではノイズゲインは一定ですが、もし、オペアンプのオープンループゲインがその周波数まで伸びていない場合には、図３の AN と書かれているところからノイズゲインが下がっていくことになります。この AN がもっと左側にある場合（オペアンプが低速でGB積が小さいとき）、BUCHURUN さんの資料のように、たまたま fp 付近がピークになることもあり得ます。図３のような回路では Cs/Cf > Rf/Rs となるのが普通なので、ノイズゲインは＿／￣という特性になりますが、高周波側ではオペアンプのオープンループゲインが小さくなるので、＿／￣＼という、ピークを持った形になります。

＞高周波側でノイズゲインが大きくなるのはなぜなのでしょう
ノイズゲインの周波数特性は以下のようにして計算できます。この計算ではオペアンプのオープンループゲインを無限大としますが、実際の特性でももちろん計算できます（計算は結構大変です）。
　　　　　　　　 ← i3
　　　　┌── Cf ──┐
　　　　│　　　← i2　　│
　　　　├── Rf ──┤
　　　　│　　　┏━┓　│
　　Vn├ ○─┨- ┠─┴─ Vout
　　　　│　 ┌┨+ ┃
　i1 ↓Cs　│┗━┛　　　○ はノイズ源
　　　　┷　 ┷　GND

上のような回路で、各素子に流れる電流を i1～i3、ノイズ信号レベルを Vn とすれば
　　　　i1 = j*ω*Cs*Vn
　　　　i2 = ( Vout - Vn )/Rf
　　　　i3 = j*ω*Cf*( Vout - Vn )
となりますが、オペアンプの入力端子に流れる電流を無視すれば i1 = I2 + i3 なので
　　　j*ω*Cs*Vn = ( Vout - Vn )/Rf + j*ω*Cf*( Vout - Vn )
したがってノイズゲインは
　　　Vout/Vn = { 1 + j*ω*( Cs + Cf )*Rf }/( 1 + j*ω*Cf*Rf ) --- (1)
で表わされます。周波数が低い場合は Vout/Vn ≒ 1 ですが、周波数が高い場合（分母・分子の1が無視できる場合） Vout/Vn ≒ 1 + Cs/Cf となります。ＩＶ変換回路では普通 Cs > Cf なので、高周波でのノイズゲインは 1 を越えます。したがって周波数が高くなるほどノイズゲインが大きくなりますが、その上限は 1 + Cs/Cf になります（図３のノイズゲインが平坦になっている部分の利得がその上限）。もし、Cs >> Cf ならば、式(1) は
　　　Vout/Vn ≒ { 1 + j*ω*Cs*Rf }/( 1 + j*ω*Cf*Rf ) --- (2)
と近似できます。ω = 1/( Cf*Rf ) のとき
　　　Vout/Vn ≒ ( 1 + j*Cs/Cf )/( 1 + j )
　　　|Vout/Vnし| = √{ 1 + ( Cs/Cf )^2 }/√2 ≒ ( Cs/Cf )/√2
となります。これは、式(2)で ω→∞ としたときのゲイン Cs/Cf を √2 で割った値（3dB落ちるゲイン）なので、この fp が、ノイズゲインが高周波側で飽和し始める（飽和ゲインから3dB落ちるところの）周波数になります。

[1]　IVアンプに関する質問　http://sanwa.okwave.jp/qa4296008.html
[2]　トランスインピーダンスアンプの解析（PDFファイル3ページの図３）　http://homepage1.nifty.com/dcr/dcmic/nosdac/tran …

anachrockt · Answer

> これはどういうことなのでしょうか？
NSのノイズゲインの定義はここの一等上に載ってますが，
http://www.national.com/JPN/newsletter/sep06/spsolutions.html
帰還率βの逆数で，アンプの固有の値であるオープンループゲインは入れてないからです．

> このように高周波側でノイズゲインが大きくなるのはなぜなのでしょうか？
上記のFigure 1 にあるノイズゲインの定義式に，RG→1/(sCPD+CIN), RF→RF//(1/sCF)を入れて計算し，ボーデ・プロットを書いてみると一目瞭然です（//は並列を表す）．

ってゆうか，基本的に微分回路のため，CFが無ければグングンと大きくなって発振するから，CFを入れてフラットにし，位相余裕45°を確保しているわけです．
オペアンプの基本的なことは，ここで質問して変な回答を見るよりも，こういった本を熟読した方が速く正しく理解できますよ．
http://focus.ti.com/lit/an/slod006b/slod006b.pdf

オープンループゲインとクローズループゲインの関係を教えて下さい。

寄生容量を無視したときのオープンループゲインとクローズドループゲインの関係は参考URLの ANo.2&3 で説明されていますが、もう少し簡潔に説明してみます。

AN.5を訂正します

＞このページを見ると1/2πR_FC_Fと書かれてあるのですが

＞オープンループゲインは電圧-電圧変換のゲインを表していますが、IVコンバーターの場合はどうなるのでしょうか？

＞ピークトップの周波数を表す式の中にはアンプの固有の値であるオープンループゲインは出てこないのですが、これはどういうことなのでしょうか？

> これはどういうことなのでしょうか？

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