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三角形ABCがあり、BC=a,CA=b,AB=cとします。

内部に点Pをとり、∠BPC=∠CPA=∠APB=120度となったとします。

この点はフェルマー点と呼ばれます。

PA=x,PB=y,PC=zとして、それらを具体的に求めたいのです。

余弦定理で、
y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+zx=b^2
x^2+y^2+xy=c^2

これをx,y,zについて解いて具体的に書くとどうなるのでしょうか?
普通には求められそうもないので、x,y,zの代わりに、たとえば、
x+y+z,xy+yz+zx,xyzを求めようともしましたがうまくいきません。
代数的に解く代わりに、たとえば、三角関数を使って解こうとしてもうまくいきません。
なにかいいアイデアはないでしょうか。

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A 回答 (5件)

#2です。


参考までに、A#2のx,y,zから積xyzを逆算すると
xyz=
[{16S-(a^2+b^2-c^2)√3}*{16S-(a^2+c^2-b^2)√3}
 *{16S-(b^2+c^2-a^2)√3}]
 /[6√6 {(16√3 S+a^2+b^2+c^2)}^(3/2)]

となりますね。
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あまりに途中が大変そうなので計算してませんが


y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+zx=b^2
x^2+y^2+xy=c^2
を掛けて,基本対称式で表せば,x+y+z,xy+yz+zxして
恐らくxyzの二次方程式になると予想できます.
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 #1です。

お礼をありがとうございます。

>となると気になるのが、基本対称式xyzをa,b,cを用いて表すには?

 そうですよね。xyzも何かで求められれば綺麗になりますよね。
 xy+yz+zxを求められたのは、この2次の基本対称式の関係を得るには、辺の長さの2次になる面積の関係から求められないかな? と思ったことによります。
 そこで、たまたま上手く関係式を得ることができたのですが、3次のxyzについてはアイデアが浮かびませんでした。単純には、辺の長さを利用した立体の体積に絡んでくるのでしょうが、その関係を見つけられなかったのです。それ以外にも(余弦定理が2次に関することと同様に)辺の長さの3次に関する関係式があればそれを利用することもできるかもしれませんが、私は思いつきませんでした。
 数学的センスに溢れた他の回答者さんたちでしたら、その辺りのことが見つけられるかもしれません。この点は、その方たちにお譲りしたいと思います。

>y^2+z^2+yz=a^2
>z^2+x^2+zx=b^2
>x^2+y^2+xy=c^2
>本来は、この3つの条件だけで十分と思います。

 私もそう思います。式(A)からyをxで表した式を求め、それを式(C)に代入してxとzの2元連立方程式にしていくという手順をとれば複雑にはなりますが、x、y、zは解けるはずです。
 ただ今回はもっと楽に解く方法はないかと考え、他の式と組み合わせることにしただけです。条件的には上の3式だけで十分なはずです。

 なお、#2さん、数式ソフトで検証して下さったこと、この場を借りてお礼申し上げます。
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数式処理ソフトを利用して工夫して解いて見ました。



式が長くなりますので、以下のS,s,kの置き換えをしておきます。
三角形の面積をS(ヘロンの公式で与えられる)
s=(a+b+c)/2
k=√{(a^2+b^2+c^2+4S√3)/2}
x,y,zは以下のように解けました。
x=k-(a^2+4S/√3)/k
y=k-(b^2+4S/√3)/k
z=k-(c^2+4S/√3)/k

検証)
もとの3つの方程式に代入すると満たしています。
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この回答へのお礼

これはすばらしいです。感謝いたします。
いまはまだ忙しくて検証していませんが、あとで考えてみます。

なんか背景なども考え込んでいます。
この問題を考えた一つのきっかけは、次の感じです。

平面に異なる3点A,B,Cをとります。
平面にもう一点Pをとり、その位置(座標)を、
PA,PB,PC
という長さの組で表します。
その3つの値のうち、逆にPA,PBの値が上手に具体的に与えられれば、Pの位置が決まります。正確には二意に決まります。
すると、PCの値も定まります。
つまり、AB,BC,CA,PA,PB,PCにはある関係式があります。
それは、いわゆる四面体のヘロンの公式での体積=0、という関係式です。

3辺がa,b,cの三角形における有名な点P(五心など)の位置を、
PA,PB,PC
の長さで表したいのです。

お礼日時:2008/10/02 05:45

 式が複雑になりそうなので、方針だけお伝えします。



1. 質問者さんが余弦定理から導かれた3つの式をそれぞれ式(A)、式(B)、式(C)とおきます。
 これらを足し合わせて、まず次の式を得ます。
  2(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)=a^2+b^2+c^3 ・・・(D)

2. 次に△ABCの面積に注目します。
  △PAB+△PBC+△PCA=△ABC
  △PAB=√3/4 xy、△PBC=√3/4 yz、△PCA=√3/4 zx
 △ABCの面積はヘロンの公式から次のようになります。
  △ABC=√{s(s-a)(s-b)(s-c)} ただし、s=(a+b+c)/2

 ここから、次の式が導かれます。
  xy+yz+zx=4/√3 √{s(s-a)(s-b)(s-c)} ・・・(E)

3.式(E)を式(D)に代入することで、x+y+z を得、xをy、zで表します。

4.3.項で得られたxについての式を式(A)、(C)に代入し、y、zについての連立方程式を得、これを解きます。
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この回答へのお礼

ご返答、大感謝いたします。
△ABCの面積に注目されていますが、それはいいアイデアですね。
それの代数的な意味が気になるところです。

y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+zx=b^2
x^2+y^2+xy=c^2

本来は、この3つの条件だけで十分と思います。
連立方程式を全部足せば、
2(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)=a^2+b^2+c^3
連立方程式をうまいぐあいに代数的に変形して、
xy+yz+zx=4/√3 √{s(s-a)(s-b)(s-c)} 

これらから、基本対称式のうち、xy+yz+zxとx+y+zが求められるのですね。
となると気になるのが、基本対称式xyzをa,b,cを用いて表すには?

お礼日時:2008/10/01 05:04

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http://www.geocities.jp/osaqmath/j3-2.html
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まったく同様の論法で、たとえばナポレオン点と重心が一致すれば正三角形なども成立します。

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Aベストアンサー

ANo.4 stomachmanです。

> どのようにして導出されたのでしょうか

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Q1点から三角形の頂点への最短距離(平面図形的解釈)

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Aベストアンサー

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって
点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図(左)のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ2つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
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したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
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となっています。(#1さんの指摘しているのはこのことです)

このような点は、「フェルマー点」と呼ばれています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%82%B9
フェルマーさんも、本当にあちこちに名前が付いていますね。

なお、△ABCの内角の一つが120°を超える場合には、このような点Pを
三角形の内部にとることはできません。
その場合、三頂点までの距離の和が最小となる点は、△ABCの最大角の
頂点となります。

この問題では与えられた三角形が二等辺三角形なので、かえって
点Pの持つ意味が分かりにくいかもしれませんね。

一般に、添付図(左)のように、勝手な三角形ABCが与えられた時、
その内部に点Pをとり、3つの頂点までの距離の和を考えます。
ここで、図のように辺BCおよび線分BPをそれぞれ一辺に持つ2つの
正三角形△BCD, △BPQを書くと、△BPC≡△BQDになりますので、
 AP+BP+CP=AP+PQ+QD
となります。
したがって、AP+PQ+QDが最小となるのは、右の図のようにA, P, Q, Dが
一直線上に並ぶ時です。
この時、CA, CBを...続きを読む


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