{A_n}をA_n∩A_n+1≠φであるような連結なXの部分空間なら∪[n=1..∞]A_nは連結である事を示せ

たびたびすいません。

{A_n}をA_n∩A_n+1≠φであるような連結なXの部分空間の列とする。
∪[n=1..∞]A_nは連結である事を示せ。

という問題が多分解けてません。


Xの位相をTとするとA_nは部分空間なのだからA_nの位相はT_n:={A_n∩t;t∈T}と書ける。
∪[n=1..∞]A_nの位相として∪[n=1..∞]T_nが採れる。
そして各A_nが連結なのだから
∀U,V∈T_nに対し,A_n=U∪VでU∩V≠φ
よって
∀U,V∈∪[n=1..∞]T_nに対し,∪[n=1..∞]A_n=U∪VでU∩V≠φ
と結論づいたのですが自信がありません。

どのようにして示せますでしょうか?　すいません。お力をお貸しください。

No.6 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/10/10 19:56

>、、となって矛盾になりませんが、、何処を間違ったのでしょうか?

なんで矛盾する必要が？
「連結ではない」
を仮定して
「連結ではない」
がでてきてるでしょう？

U∪V⊃A，A∩U∩V=φ
と
A∩(U∪V)=A，A∩U∩V=φ
が同じってことです．

この回答へのお礼

> なんで矛盾する必要が？
> 「連結ではない」
> を仮定して
> 「連結ではない」
> がでてきてるでしょう？

仮にφ≠∃U',V'∈T_a;A=U'∪V'且つU'∩V'=φ …(1) としてみると
T_aの定義からφ≠∃U,V∈T;U'=A∩U,V'=A∩V …(2) (但しU,V∈T).
この時 A⊂U∪Vと言え, (1)と(2)よりA∩U∩V=φが言え,
A∩U≠φ,A∩V≠φも言える(∵(1),(2))。Aは非連結。
これは矛盾でしたね。


下記のようにできました。

A:=∪[n=1..∞]A_n としてφ≠∃U,V∈T (但しTはXの位相); A= U∪V,U∪V=φ…(1).

その時∀n∈N,A_n⊂U か A_n⊂V …(2)
(∵もしA_n∩U≠φ且つA_n∩U≠φ…(3)ならA_n∩U,A_n∩U∈T_a(:XのAでの相対位相)で
A_n=(A_n∩U)∪(A_n∪V)(∵(1),(2))と(3)より,A_nは非連結。これは矛盾)

そして仮定 A_k∩A_k+1≠φより∀n∈N,A_n⊂Uか∀n∈N,A_n⊂Vのどちらかのみ …(4) が成り立つ.
よってU∩A,V∩A∈T_a ∧ (U∩A)∪(V∩A)=A ∧ (U∩A)∩(V∩A)=φ ∧ (U∩A=φ∧V∩A≠φ)∨(U∩A≠φ∧V∩A=φ) (∵(4)).
これは(1)に反する。 ∴Aは連結

これでも大丈夫でしょうか?

お礼日時：2008/10/11 10:57

No.5 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/10/08 19:51

もういっこ忘れてた．

AとU，Vはもちろん共通部分がないと駄目です．

この回答へのお礼

ありがとうございます。

正しくは
『Aは連結「A=U'∪V'でU'∩V'=φとなるφ≠U',V'∈T_a:={A∩t∈2^X;t∈T} (但し,T_aはAの)は存在しない」
⇔
A⊂U∪VでA∩U∩V=φでA∩U≠φ,A∩V≠φとなるφ≠U,V∈Tは存在しない』

なのですね。十分性が未だ示せません。

仮にφ≠∃U',V'∈T_a;A=U'∪V'且つU'∩V'=φ …(1) としてみると
T_aの定義からφ≠∃U,V∈T;U'=A∩U,V'=A∩V …(2) (但しU,V∈T).
この時 A⊂U∪Vと言え, (1)と(2)よりA∩U∩V=φが言え,
A∩U≠φ,A∩V≠φも言える(∵(1),(2))。
、、となって矛盾になりませんが、、何処を間違ったのでしょうか?

お礼日時：2008/10/10 07:26

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/10/08 08:58

ごめん．

一個書き間違った．
あなたの指摘どおりです．

＞Xの空ではない開集合UとVで
＞U∪V⊃A，U∩V=φ
＞とは表せないということです

じゃなくって
U∪V⊃A，A∩U∩V=φ
ですね．
証明は単純に
U∪V⊃A，A∩U∩V=φ
と
A∩(U∪V)=A，A∩U∩V=φ
は同じだってこと．

No.3 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/10/07 12:55

あなたの証明では

A_n∩A_n+1≠φ
が使われていません．
この条件は必須です．
この条件がなければ反例を容易に作れます．

まず・・・そこまで相対位相にこだわる必要はないです．
却って煩雑になるだけです．
それと教科書一冊しかみてないでしょう？
複数みていろいろな流儀とそれらの同値性を理解しないと
使い物になりません
＃かなり変わった教科書かも・・・商写像の定義がどうにも
＃普通じゃない感じだし

Xの部分集合Aが連結であることの必要十分条件は
Xの空ではない開集合UとVで
U∪V⊃A，U∩V=φ
とは表せないということです
（すごく簡単だけども証明できますか？）

さて・・・∪[n=1..∞]A_n=Aとおいて
U∪V⊃A，U∩V=φ
と表わせたとしましょう．

Step1
任意のiに対して，Ai⊂UまたはAi⊂V
Step2
Ak⊂U，Ak+1⊂Vとできるkが存在する
Step3
Aは連結

こういう流れ．イメージがつかめてれば
すぐ見えるはずなんだけども
練習あるのみですね
＃イメージとしては少しずつ重なって連なってる円盤とか
＃オリンピックのマークみたいに，交わりながら
＃つらなる円．連凧みたいなものでもいい．

あなたのいう「矛盾」は
矛盾ではありません．
Xが連結だとか非連結だなんてどこに書いてないし，
実際，Xが連結じゃなくたって，この命題は成り立つ．

この回答へのお礼

大変ありがとうございます。

> とは表せないということです
> （すごく簡単だけども証明できますか？）

必要性は
『Aは連結「A=U'∪V'でU'∩V'=φとなるφ≠U',V'∈T_a:={A∩t∈2^X;t∈T} (但し,T_aはAの)は存在しない」
⇔
A⊂U∪VでU∩V=φとなるφ≠U,V∈Tは存在しない』
ですね。
もし仮にA⊂U∪VでU∩V=φ…(1)となるφ≠U,V∈Tが存在したとすると
(A∩U),(A∩V)∈T_aで(∵相対位相の定義)
(A∩U)∪(A∩V)=Aで(A∩U)∪(A∩V)=φ
ここでφ≠(A∩U)且つφ≠(A∩V)が言えれば
U'とV'として(A∩U)と(A∩V)が採れた事になり
「A=U'∪V'でU'∩V'=φとなるφ≠U',V'∈T_a:={A∩t∈2^X;t∈T} (但し,T_aはAの)は存在しない」
に矛盾。。。と持っていきたいのですが
φ≠(A∩U)且つφ≠(A∩V)はどうすればいえますでしょうか?


十分性は
もし仮にA=U'∪V'でU'∩V'=φとなるφ≠U',V'∈T_aが存在したとすると,,
T_aの定義からU'=A∩U,V'=A∩V(但しU,V∈T)という形になっている。
ここから「A⊂U∪VでU∩V=φとなるφ≠U,V」である事を引き出して矛盾にしたいのですが
どうすればいいのでしょうか?


> さて・・・∪[n=1..∞]A_n=Aとおいて
> U∪V⊃A，U∩V=φ
> と表わせたとしましょう．
> Step1
> 任意のiに対して，Ai⊂UまたはAi⊂V

もし仮に,A_i∩U≠φ且つA_i∩V≠φなら
今,A_i∩UとA_i∩VはAのT_aの元なので
(A_i∩U)∩(A_i∩V)=φ(∵U∩V=φ)で非連結となってしまい、
A_iが連結である事に矛盾。
よってAi⊂UまたはAi⊂Vでなければならないのですね。納得です。


> Step2
> Ak⊂U，Ak+1⊂Vとできるkが存在する

U∩V=φだから
この場合,A_k∩A_k+1≠φという仮定に反する。
よって∀i∈N,A_i⊂Uか∀i∈N,A_i⊂V…(2)でなければならない。


> Step3
> Aは連結

今(U∩A),(V∩A)∈T_aで(U∩A)∪(V∩A)=Aで(U∩A)∩(V∩A)=φだが
U∩A≠φかV∩A≠φかどちらか一方のみとなり(∵(1),(2))
「(U,Vは空でなく)U∪V⊃A，U∩V=φと表わせたとしましょう」に矛盾。

よってU∪V⊃A，U∩V=φとは表せない。
したがって
『Aは連結「A=U'∪V'でU'∩V'=φとなるφ≠U',V'∈T_a:={A∩t∈2^X;t∈T} (但し,T_aはAの)は存在しない」
⇔
A⊂U∪VでU∩V=φとなるφ≠U,V∈Tは存在しない』
を使って ∴ Aは連結。

お礼日時：2008/10/08 05:02

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/10/06 20:36

もっと素直に，

∪[n=1..∞]A_nが，
交わらない，空でもない二つの開集合の和と
書けたらどうなるかってやればいいだけ．
そうすればほとんど自明．

この回答へのお礼

ありがとうございます。


> もっと素直に，
> ∪[n=1..∞]A_nが，
> 交わらない，空でもない二つの開集合の和と
> 書けたらどうなるかってやればいいだけ．
> そうすればほとんど自明．

∪[n=1..∞]A_nの位相は∪[n=1..∞]T_nから生成される位相σ(∪[n=1..∞]T_n)ですね。
この位相は
{∪[λ∈Λ]∩[i_λ=1..n_λ]t_i_λ;t_i_λ∈∪[n=1..∞]T_n}∪{X,φ}
という族ですよね。よって
A,B∈{∪[λ∈Λ]∩[i_λ=1..n_λ]t_i_λ;t_i_λ∈∪[n=1..∞]T_n}の元に於いて
X=A∪B且つA∩B=φ …(1) なるA,Bがあったとすると
A,Bはそれぞれ各T_nから高々有限個の元の共通部分の任意個和集合で構成されてますよね。
すると例えばあるn_0について
A∩A_n_0とB∩A_n_0はそれぞれA_n_0の相対位相の元(つまりA_n_0の開集合)で
A_n_0=(A∩A_n_0)∪(B∩A_n_0)になってますよね。
それで(A∩A_n_0)∩(B∩A_n_0)≠φ (∵仮定よりA_n_0は連結)
したがってφ≠(A∩A_n_0)∩(B∩A_n_0)⊂A∩B
これは(1)に矛盾。
よって∪[n=1..∞]A_nは連結となったのですがこれでよろしいでしょうか?

お礼日時：2008/10/07 06:53

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/10/06 15:50

>∪[n=1..∞]A_nの位相として∪[n=1..∞]T_nが採れる。

∪[n=1..∞]T_n は位相になっていますか？

>と結論づいたのですが

どうやって結論付けたのか、まったくわかりません。
特に、A_n∩A_n+1≠φ の条件がどう使われているか不明です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
考え直してみました。

∪[n=1..∞]A_nの位相は∪[n=1..∞]T_nから生成される位相σ(∪[n=1..∞]T_n)ですね。
この位相は
{∪[λ∈Λ]∩[i_λ=1..n_λ]t_i_λ;t_i_λ∈∪[n=1..∞]T_n}∪{X,φ}
という族ですよね。よって
A,B∈{∪[λ∈Λ]∩[i_λ=1..n_λ]t_i_λ;t_i_λ∈∪[n=1..∞]T_n}の元に於いて
X=A∪B且つA∩B=φ …(1) なるA,Bがあったとすると
A,Bはそれぞれ各T_nから高々有限個の元の共通部分の任意個和集合で構成されてますよね。
すると例えばあるn_0について
A∩A_n_0とB∩A_n_0はそれぞれA_n_0の相対位相の元(つまりA_n_0の開集合)で
A_n_0=(A∩A_n_0)∪(B∩A_n_0)になってますよね。
それで(A∩A_n_0)∩(B∩A_n_0)≠φ (∵仮定よりA_n_0は連結)
したがってφ≠(A∩A_n_0)∩(B∩A_n_0)⊂A∩B
これは(1)に矛盾。
よって∪[n=1..∞]A_nは連結となったのですがこれでよろしいでしょうか?

お礼日時：2008/10/07 06:55