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∫sin^-1xdx
という不定積分の問題なんですが,以下のように解いて見ました。

∫sin^-1xdx
=xsin^-1x-∫sin^-1xdx
=xsin^-1x-∫x/√(1-x^2)dx
=xsin^-1x+√(1-x^2)+C

途中式など展開はこれであってます?教えて下さい。

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A 回答 (4件)

>∫sin^(-1)xdx


>=xsin^(-1)x-∫sin^(-1)xdx
>=xsin^(-1)x-∫x/√(1-x^2)dx
>=xsin^-1x+√(1-x^2)+C

2行目第二項の表現が違う
>-∫x・d/dx{(sin^(-1)x)}dx

後は宜しいのでは・・・。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。丁寧に訂正までしていただいて感謝です。

お礼日時:2008/10/12 15:42

no.3です。

すいません。誤解しました。申し訳ない。
arcsinx の積分ですね。
恥ずかしいなぁ(苦笑
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サインの逆数の積分ですよね?


色々とき方はあると思いますが、答えにlogがついていたような、、、。

cosの逆数の積分は他の質問にあったので、そのように計算するのがひとつのとき方です。
他のやり方は、x=tan(t/2)とおく、など。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3835052.html
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1行目から 2行目は大丈夫?

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この回答へのお礼

やはり間違ってましたか…ありがとうございます

お礼日時:2008/10/12 15:41

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^」に関するQ&A: e^(-x^2)の積分

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Qarcsinxの積分は?

タイトルのとおり、arcsinx の積分を求めたいのですが、どうすればいいか分かりません。
部分積分を使って解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どなたか教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 ∫x'arcsinx dx
= x・arcsinx - ∫x(arcsinx)'dx

f(x)の逆関数の微分は f(x) = y とおくと 1/f'(y) になります。

arcsinx = y とおくと、
(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

また、x = siny より dx = cosy dy

よって、
 ∫x(arcsinx)'dx
= ∫siny・1/cosy・cosy dy
= ∫siny dy
= -cosy
= -√(1-(siny)^2)
= -√(1-x^2)

したがって、
∫arcsinx dx = x・arcsinx + √(1-x^2)

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q標準自由エネルギー変化について教えてください。

お願いします。
基礎中の基礎です。しかし混乱してます
標準自由エネルギー変化ΔG゜と自由エネルギー変化ΔGの違いが分かりません。

まず標準自由エネルギー変化ですが
aA+bB⇔cC+dDと言う反応があると
ΔG゜=各物質の生成ΔGfの合計=[c×ΔGfC]+[d×ΔGfD]-[a×ΔGfA]-[b×ΔGfB]だと思うのですが・・・
質問1:ΔG゜<0ですと反応は右に進まないはず。でもなぜ?
質問2:ΔG゜とはそもそも何を表しているのですか?(僕自身の薄学では生成側にそれだけエネルギーが偏っている?)
質問3:ΔG゜=-AとするとAが大きいほど反応は進みやすのでしょうか?(これ本当に分かりません・・)

自由エネルギー変化ΔGについてです
ΔG=ΔG゜+RTlnK
aA+bB⇔cC+dDと言う反応ではモル分圧平衡定数とするとK=([P_C]^c・[P_D])^d÷([P_A]^a・[P_B]^b)
です。
質問4:そもそもΔGとは何を表現しているのですか?平衡だとΔG=0となる。これはどういうこと?
質問5:ΔG゜=-RTlnKですが、通常ΔGというとみんなこの方法で算出してしまいます。ここで標準自由エネルギー変化ΔG゜と自由エネルギー変化ΔGをごっちゃにするとエライ事になりそうですが・・・
質問6:ΔG=ΔG゜+RTln([P_C]^c・[P_D])^d÷([P_A]^a・[P_B]^b)でよく25℃、1atmの濃度や分圧を入れてΔGを出してますが、これはどう解釈したらよいのでしょうか?その濃度や分圧のときの自由エネルギーということ?でもそれなら25℃、1atmの生成ΔGfから算出したΔG゜とΔGが同じにならないとおかしくありませんか?
質問:そもそも上記の考え方にどこかおかしいから悩んでいるので、指摘していただけたら幸いです。

お願いします。
基礎中の基礎です。しかし混乱してます
標準自由エネルギー変化ΔG゜と自由エネルギー変化ΔGの違いが分かりません。

まず標準自由エネルギー変化ですが
aA+bB⇔cC+dDと言う反応があると
ΔG゜=各物質の生成ΔGfの合計=[c×ΔGfC]+[d×ΔGfD]-[a×ΔGfA]-[b×ΔGfB]だと思うのですが・・・
質問1:ΔG゜<0ですと反応は右に進まないはず。でもなぜ?
質問2:ΔG゜とはそもそも何を表しているのですか?(僕自身の薄学では生成側にそれだけエネルギーが偏っている?)
質問3:ΔG゜=-Aとすると...続きを読む

Aベストアンサー

>平衡になったときのモル分率やモル濃度を入れると、当然RTlnKは
>-ΔG゜と同じになるはずですよね?

ΔG=ΔG゜+RTlnKですよね。平衡状態ではΔG=0なので、
RTlnK=-ΔG゜ または -RTlnK=ΔG゜で間違いないと思います。

>一般的にΔG゜って各物質の生成ΔGfの合計から算出するじゃないですか?

違うと思います。
ΔG゜=ΣΔGf゜(生成物)- ΣΔGf゜(反応物) だと思います。

標準生成自由エネルギーと自由エネルギー変化を混同しては行けません。
自由エネルギーやエンタルピーの絶対値を調べるのは大変なので
変化量を指標に用いていることは同じですが、標準生成自由エネルギーは、すべての元素が標準状態にあるとき自由エネルギーを0として、それらの単体から生成される化合物を上記の式を使って計算した物です。

反応が自発的に進むためにはΔGがマイナスでなければなりません。
ΔGは自由エネルギー変化です。
標準生成自由エネルギーΔG゜とは違います。
-RTlnK=ΔG゜ という関係から ΔG゜が負の時はKが1よりも大きい事を意味し、正の時には、その反応が進まないということではなくKが1よりも小さいことだけを意味します。
ΔG゜が大きな正の値をとるとKは著しく小さくなり、平衡点は原系の方に極端に片寄ることを意味しています。
ΔG゜=0ならばK=1ということです。

>平衡になったときのモル分率やモル濃度を入れると、当然RTlnKは
>-ΔG゜と同じになるはずですよね?

ΔG=ΔG゜+RTlnKですよね。平衡状態ではΔG=0なので、
RTlnK=-ΔG゜ または -RTlnK=ΔG゜で間違いないと思います。

>一般的にΔG゜って各物質の生成ΔGfの合計から算出するじゃないですか?

違うと思います。
ΔG゜=ΣΔGf゜(生成物)- ΣΔGf゜(反応物) だと思います。

標準生成自由エネルギーと自由エネルギー変化を混同しては行けません。
自由エネルギーやエンタルピーの絶対値を調べる...続きを読む

Q1/cos x、1/(cos x)^2の積分について

1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分を、「微分の逆計算」とする以外に、導く方法はありませんか?

というのも、私の使っている教科書では、1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分が「いくつかの関数の不定積分」と称して公式のように書かれています。ふと、それがどのように導かれているのかを知りたくなったんですが、教科書には「微分することで元の関数に成っていることを確認せよ」としか書かれていません。仕方なく微分してみたら確かに元の関数になったんですが、なにかしっくり来ません。

「微分の逆計算」を認めずに、1/cos xや1/(cos x)^2の不定積分を導く方法があれば、是非知りたいです。
よろしくご教授お願いします。

Aベストアンサー

p2=∫dx[1/(cos x)^2]

tanx=T
dx*[1/(cos x)^2]=dT
dx=dT[(cos x)^2]

p2=∫dT[(cos x)^2][1/(cos x)^2]
=∫dT=T=tanx

loopになっていて、
逆算しているのと同じです。
---

p1=∫dx[1/cosx]
=∫dx[cosx/(cosx)^2]
=∫dx[cosx/((1-sinx)(1+sinx))]
sinx=T
dx*cosx=dT
dx=[dT/cosx]
=∫[dT/cosx][cosx)/(1-sinx)(1+sinx)]
=∫dT[1/(1-T)(1+T)]
=(1/2)∫dT[{1/(1-T)}+{1/(1+T)}]
=(1/2)[-log|1-T|+log|1+T|]
=(1/2)[-log(1-sinx)+log(1+sinx)]
=(1/2)log[(1+sinx)/(1-sinx)]
=(1/2)log[(1+sinx)^2/(cosx)^2]
=log|(1+sinx)/cosx|

あるいは、

p1=∫dx[1/cosx]

tan(x/2)=T
dx((1/2)/[((cos(x/2))^2)])=dT
dx(1/2)[1+(tan(x/2))^2)]=dT
dx(1/2)[1+(T^2)]=dT
dx=2dT/[1+(T^2)]

cosx=[((cos(x/2))^2)-((sin(x/2))^2)]/[((cos(x/2))^2)+((sin(x/2))^2)]
=[1-((tan(x/2))^2)]/[1+((tan(x/2))^2)]
=[(1-(T^2))/(1+(T^2))]
1/cosx=[(1+(T^2))/(1-(T^2))]

p1=∫dx[1/cosx]
=∫(2dT/[1+(T^2)])[(1+(T^2))/(1-(T^2))]
=2∫dT/(1-(T^2))
=2∫dT/(1-T)(1+T)
=∫dT[{1/(1-T)+{1/(1+T)}
=-log|1-T|+log|1+T|
=-log|1-tan(x/2)|+log|1+tan(x/2)|
=log|[1+tan(x/2)]/[1-tan(x/2)]|
=log|[cos(x/2)+sin(x/2)]/[cos(x/2)-sin(x/2)]|
=log|[cos(x/2)+sin(x/2)]^2)/cosx|
=log|(1+sinx)/cosx|
---

p2=∫dx[1/(cos x)^2]

tanx=T
dx*[1/(cos x)^2]=dT
dx=dT[(cos x)^2]

p2=∫dT[(cos x)^2][1/(cos x)^2]
=∫dT=T=tanx

loopになっていて、
逆算しているのと同じです。
---

p1=∫dx[1/cosx]
=∫dx[cosx/(cosx)^2]
=∫dx[cosx/((1-sinx)(1+sinx))]
sinx=T
dx*cosx=dT
dx=[dT/cosx]
=∫[dT/cosx][cosx)/(1-sinx)(1+sinx)]
=∫dT[1/(1-T)(1+T)]
=(1/2)∫dT[{1/(1-T)}+{1/(1+T)}]
=(1/2)[-log|1-T|+log|1+T|]
=(1/2)[-log(1-sinx)+log(1+sinx)]
=(1/2)log[(1+sinx)/(1-sinx)]
=(1/2)log[(1+...続きを読む

Q∫[1→0]tan^(-1)xdxの定積分です

∫[1→0]tan^(-1)xdxの定積分です

以下のように解いて見たんですが
まず,
∫tan^(-1)xdx
=∫(x)'tan^(-1)xdx
=xtan^(-1)x-∫{x/(1+x^2)}dx
=xtan^(-1)x-1/2∫{2x/(1+x^2)}dx
=xtan^(-1)x-1/2log(1+x^2)
=xtan^(-1)x-log√(1+x^2)

となるので[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]を求める
[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]
={tan^(-1)-log√2}-1
=-3/2-log√2
と解きました。途中式・解答はあってますか?添削をお願いします。

Aベストアンサー

 不定積分の部分は良いと思いますが、定積分の部分で誤りがあります。

 tan^(-1)(1)=π/4、 log(1)=0 ですので、次にようになります。

>[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]
>={tan^(-1)-log√2}-1
 ={tan^(-1)(1)-log√2}-{log(1)}
 ={tan^(-1)(1)-log√2}

>=-3/2-log√2
 =π/4-log√2

 ところで、定積分の書き方ですが、∫[1→0]というのは、「1」が∫の下で「0」が上に書いてあるということですよね。
 もし逆でしたら、答えの符号が逆になります。


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