「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

(問題)
x>0, y>0, z>0, x+y+z = 1 のとき、x^3 + y^3 + z^3 の最小値を求めよ。

------------------------------------------------------------
(私の解答)
x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、
x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、
x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z
これと x+y+z = 1 より
x = y = z = 1/3
のとき、x^3 + y^3 + z^3 は最小となる。
すなわち、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9
したがって、最小値は、1/9 ・・・(答)
------------------------------------------------------------

上記のように解きましたが、自信がありません。
正解か否かのご判定と、間違っている場合は、何が間違いかをご指摘いただければ幸いです。

A 回答 (9件)

x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3xyz が成立するのはよいとして、


等号成立時が左辺の最小値である保証はありません。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

はじめは、ご回答の意味がよくわかりませんでしたが、take_5様のご説明を読み、また、自分でも愚考を重ねました結果、ようやく納得できました。

巷の参考書では、私のような解答が横行していますが、なにげに腑に落ちない感じがしましたので、質問させていただきました。

では、失礼いたします。

補足日時:2008/10/23 16:02
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>巷の参考書では、私のような解答が横行していますが、


>なにげに腑に落ちない感じがしましたので、質問させていただきました。

巷の参考書がどうだかは知りませんが、その「腑に落ちない」感覚は重要です。大事にしましょう。
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この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。

私は趣味で高校数学を学び直しておりまして、分不相応とは思いますが、最終的には、アインシュタインの相対性理論を理解したいと思っております。
最近、「高校数学プラスアルファ」という本に、高校数学だけで波動方程式を導くことができる、という記述があることを聞き、勇気付けられています。

では、このへんで回答を締め切らせていただきます。

お礼日時:2008/10/26 23:13

疲れるねぇ、これをlast answerにしよう。



>つぎのように解釈しましたが、よろしいのでしょうか?
>「x^3 + y^3 + z^3が最小になるのは、3(3)√(xyz)=1/9 のときではない。」

そのとおりだ。そして、君の解答のどこが間違いであるかは既に指摘してある。同じ質問をするな。

正しい解法については、既にANO-4 で示しているだろう。

>x>0、y>0、z>0より、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz ‥‥(1)
>又、 x+y+z≧3(3)√(xyz)より、1≧3(3)√(xyz)となるか>ら、3xyz≦1/9 ‥‥(2) 等号はx=y=z=1/3。

何度も言うが、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz で 3xyzが一定値ならそれが即ち最小値になる。
しかし、この問題では 3xyzは一定値ではないから、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz の不等式から“だけ”では最小値は出せない。
ANO-4 の私の解答を良く見なさい。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/23 15:56

君の解答が違ってる点を具体的に示そう。



君の論理で行くと、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 1/9であるから、3(3)√(xyz)=1/9 即ち、xyz=(1/27)^3 ‥‥(1)になる。
ところが、x = y = z であるから、(1)に代入すると、x = y = z =1/27となり、x+y+z = 1 に反する。

私が最初のレスで
>3項の相加平均・相乗平均の成立とx^3 + y^3 + z^3の最小値とは、この限りでは全く関係がない、という事。

と、書いた事が分るだろう?

この回答への補足

take_5様

再三再四ごていねいなご回答をいただきまして、深く感謝申し上げます。

つぎのように解釈しましたが、よろしいのでしょうか?

「x^3 + y^3 + z^3が最小になるのは、3(3)√(xyz)=1/9 のときではない。」

お手数をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

補足日時:2008/10/23 12:16
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(私の解答)


x>0, y>0, z>0より、x^3>0, y^3>0, z^3>0 なので、相加・相乗平均の関係から、x^3 + y^3 + z^3 ≧ 3 * (x^3 * y^3 * z^3)^(1/3)
等号成立は、x^3 = y^3 = z^3 のときで、x>0, y>0, z>0 だから、x = y = z

と、ここまでは何の問題もない。
しかし、“これと x+y+z = 1 より”とは、都合よく組み合わせたに過ぎない。
さっきも書いたが、ここで 積:xyz が一定値ならばx^3 + y^3 + z^3≧一定値となり、最小値が求められた。
例えば、xyz=1ならば、等号成立は、x = y = z、つまりx^3=y^3=z^3=1の時。即ち、x=y=z=1の時。
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>要は、「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」ということですね。



ちょつと違うね。
「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」‥‥これ自体は間違いではないが。
x+y+z≧3(3)√(xyz)において、左辺のx+y+zが一定値ならxyzの最大値が求まり、逆にxyzが一定値ならx+y+zの最小値が求められる。
従って、この問題ではxyzの値が一定値ではないから最小値ではない、という事。わかり難いかな?
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相加平均・相乗平均でも解けるね。

。。。うっかりしてた。。。笑

x>0、y>0、z>0より、x^3 + y^3 + z^3≧3xyz ‥‥(1)
又、 x+y+z≧3(3)√(xyz)より、1≧3(3)√(xyz)となるから、3xyz≦1/9 ‥‥(2) 等号はx=y=z=1/3。
(1)が常に成立するから、x^3 + y^3 + z^3は3xyzの最大値より大きければ良い。
即ち、(2)より、x^3 + y^3 + z^3≧1/9. 等号は、x=y=z=1/3の時。
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この回答へのお礼

take_5様

再三にわたりご回答いただきまして、たいへんありがとうございます。

はじめは、おっしゃておられることが理解できなかったのですが、数日考えさせていただいて、ようやく納得できました。
要は、「相加平均・相乗平均の関係とは、単なる不等式である」ということですね。
この理解がまちがっていましたら、また、お教えいただければ幸いです。

お礼日時:2008/10/21 21:58

あまりスマートではないが別解を示しておく。

でも、こちらの方がorthodoxかな?

x、y、zについて平等から、0<x<1、0<y<1、0<z<1.
従って、y+z=1-x、yz=kとすると、yとzは f(t)=t^2-(1-x)t+k=0の2つの実数解で、共に0<t<1にあるから、その条件を求めると、判別式≧0、f(0)>1、f(0)>0、0<軸<1である。
実際に計算して整理すると、0<4k≦(1-x)^2 ‥‥(1)
P=x^3 + y^3 + z^3 =x^3+(y+z)*(y^2-yz+z^2)=3*(x-1)*k+(3x^2-3x+1)‥‥(2)。
これは、0<x<1より傾きが負のkの1次関数から、(1)より4k=(1-x)^2 で最小。
よって(2)の最小値は、P=4F=g(x)=3x^3+3x^2-3x+1であるからxについて微分するとg´(x)=3(3x-1)*(x+1)=0より 0<x<1で増減表を書くと、x=1/3で極小かつ最小。この時(1)よりk=1/9.
y+z=1-x=2/3、yz=k=1/9よりy=z=1/3.
又、P=4F=g(1/3)≧1/9。
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質問者の解答の誤りは、3項の相加平均・相乗平均の成立とx^3 + y^3 + z^3の最小値とは、この限りでは全く関係がない、という事。



では、どのように解くべきか?

a、b、c、x、y、zについて、次の絶対不等式(シュワルツの不等式という)が成立する。
(a^2+b^2+c^2)*(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2、等号は ay=bx、bz=cy、cx=azの時。
この絶対不等式を2回使うと良い。

x>0、y>0、z>0より、{(√x)^2+(√y)^2+(√z)^2}{(√x^3)^2+(√y^3)^2+(√z^3)^2}≧(x^2+y^2+z^2)^2 。 何故なら、{(√x)}*{(√x^3}=x^2 等による。
従って、(x+y+z)*(x^3+y^3+z^3)≧(x^2+y^2+z^2)^2、つまり、(x^3+y^3+z^3)≧(x^2+y^2+z^2)^2‥‥(1)
又、(1^2+1^2+1^2)*(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 であるから、x^2+y^2+z^2≧1/3 ‥‥(2).
以上から、(1)と(2)より、x^3 + y^3 + z^3 ≧1/9 (等号はx=y=z=1/3の時)
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Q相加・相乗平均は最小値を示すのでしょうか?

相加相乗平均の証明なのですが、高等学校の教科書には
a>=0, b>=0の時、(a+b)^2>=(2√ab)^2で
左辺-右辺=a^2+2ab+b^2-4ab=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2>=0
と証明が書かれています。等号が成り立つのはa=bとなっています。
でも、相加相乗平均が最小値になるとはいえないと思うんですよ。
例えば (a+b)^2>=(√2ab)^2とします。
左辺-右辺=a^2+2ab+b^2-2ab=a^2+b^2>=0となり
a+b>=√2abということも言えます。等号条件はa=b=0となります
。2√ab>√2abですから相加相乗平均が最小値には思えません。

しかし、2^X+2^(-X)の最小値を求めようとした時。相加相乗平均では2以上になりますが、先ほどの方法では√2以上になります。
ただし、2^Xも2^(-X)も0にはなりませんし、等号条件も成り立ちませんので先ほどの方法では間違っていると思えるのですが、根拠がわかりません。分かる方がいたら是非教えてください。

Aベストアンサー

いい質問ですね。この質問できっとあなたの実力が上がるでしょう。
a+b>=2√ab のような
相加相乗平均の関係式の右辺が左辺の最小値を与えるのは、等号成立条件を満たすa,bの値が存在するときのみに限られます。このことは当然理解していただけると思います。(等号が成立しなければ、右辺が左辺の最小値になるはずがありません)

さて、この右辺が最小値になるとは思えないという理由に
(a+b)^2>=(√2ab)^2
という不等式を挙げていらっしゃいますが、この式の等号成立条件はおっしゃるとおりa=b=0ですから、これが成り立つようなときは右辺が左辺の最小値を与えることになります。ここまでは理解されていると思います。次に2√ab>√2abですからとおっしゃっているところに間違いが存在します。なぜなら2√ab=√2abとなることがあるからです。これはa=b=0のときに成立します。つまり、a=b=0のときは
(a+b)^2=(2√ab)^2=(√2ab)^2=0
となるので、質問者様の反論は成立していないのです。

2^X+2^(-X)の最小値に関しては相加相乗平均の等号成立条件は2^X=2^(-X)であり、これを解くとX=0であって、最小値は2と分かります。一方、「さきほどの方法」つまり質問者様の反論に使われた式は等号成立条件を満たすXの値が存在しませんから、右辺の値は左辺の最小値を与えることはできないのです。

いい質問ですね。この質問できっとあなたの実力が上がるでしょう。
a+b>=2√ab のような
相加相乗平均の関係式の右辺が左辺の最小値を与えるのは、等号成立条件を満たすa,bの値が存在するときのみに限られます。このことは当然理解していただけると思います。(等号が成立しなければ、右辺が左辺の最小値になるはずがありません)

さて、この右辺が最小値になるとは思えないという理由に
(a+b)^2>=(√2ab)^2
という不等式を挙げていらっしゃいますが、この式の等号成立条件はおっしゃるとおりa=b=0ですから...続きを読む


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