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∫x^2√(1-x^2)の不定積分の問題なんですが,
つぎのように解いてみたんですが,

∫x^2√(1-x^2)dx
=3x^3√(1-x^2)-∫x^3[√(1-x^2)]'dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{-2x/[2√(1-x^2)]}x^3dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{x^4/√(1-x^2)}dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx+∫dx/√(1-x^2)
=3x^3√(1-x^2)-∫(1+x^2)√(1-x^2)dx+sin^-1x
左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して
2∫x^2√(1-x^2)=(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C
よって
∫x^2√(1-x^2)=1/2{(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C}

となりました。途中式・解答はあってますか?

gooドクター

A 回答 (2件)

細かいところで間違いがあるようです.係数の間違いなど.



1行目から,
  √(1-x^2)の係数は,3 ではなく,1/3
  そして,第2項の係数が抜けていて,これも 1/3
2行目以降では,上のミスは除いて指摘します.
4行目
  ∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx ⇒ ∫{(1-x^4)/√(1-x^2)}dx
  第3項の係数が抜けていて,これも 1/3
7行目
  左辺 2∫x^2√(1-x^2)の係数,4/3
  右辺の第1項 (3x^3-1)√(1-x^2)
     ⇒ (1/3)x^3√(1-x^2) - (1/3)∫√(1-x^2)dx
  という風に,積分が抜けている.

答えは,
与式 = (1/8)*{x(2*x^(2) - 1)√(1-x^2) + arcsinx}
となります.微分して確認済み.
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この回答へのお礼

早速の解答ありがとうございます。大変参考になりました。

お礼日時:2008/10/12 17:08

とりあえず解いてみました。


残念ながらあなたの解答は数学的に
少しおかしいところがあるように思えます。
特に「左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して」は
もともとこれは方程式ではないので不可能です。
また、部分積分でやろうとしてますが、
置換をしたほうがよいでしょう。


まず∫x^2√(1-x^2)dx=(予式)
において、√(1-x^2)はx=sinθ・・・(1) と置換できます。
(1)を微分してdx=cosθdθ・・・(2)
(1)、(2)より
(与式)=∫sin^2θ√(1-sin^2θ)cosθdθ
   =∫sin^2θ|cosθ|cosθdθ
ここで-θ/2≦cosθ≦θ/2 であるから絶対値がはずれ
   =∫sin^2θcos^2θdθ
整理して
   =∫(sinθcosθ)^2dθ
ここで倍角の公式 sin2θ=2sinθcosθ を利用して
   =∫(2sinθcosθ/2)^2dθ
=∫(sin2θ/2)^2dθ
=∫(sin2θ)^2/4dθ
ここで半角の公式 sin^2θ/2=1-cosθ/2 を利用して
   =∫(1-cos4θ/2)/4dθ
=1/8∫(1-cos4θ)dθ
=1/8(θ-sin4θ/4)
=1/8θ-sin4θ/32+C (Cは積分定数)

だと思います。
これは数IIIの範囲での積分ですのでやや特殊ですね。
間違っていたら・・・ごめんなさい。
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この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時:2008/10/16 09:45

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