『ボヘミアン・ラプソディ』はなぜ人々を魅了したのか >>

∫x^2√(1-x^2)の不定積分の問題なんですが,
つぎのように解いてみたんですが,

∫x^2√(1-x^2)dx
=3x^3√(1-x^2)-∫x^3[√(1-x^2)]'dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{-2x/[2√(1-x^2)]}x^3dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{x^4/√(1-x^2)}dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx+∫dx/√(1-x^2)
=3x^3√(1-x^2)-∫(1+x^2)√(1-x^2)dx+sin^-1x
左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して
2∫x^2√(1-x^2)=(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C
よって
∫x^2√(1-x^2)=1/2{(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C}

となりました。途中式・解答はあってますか?

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A 回答 (2件)

細かいところで間違いがあるようです.係数の間違いなど.



1行目から,
  √(1-x^2)の係数は,3 ではなく,1/3
  そして,第2項の係数が抜けていて,これも 1/3
2行目以降では,上のミスは除いて指摘します.
4行目
  ∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx ⇒ ∫{(1-x^4)/√(1-x^2)}dx
  第3項の係数が抜けていて,これも 1/3
7行目
  左辺 2∫x^2√(1-x^2)の係数,4/3
  右辺の第1項 (3x^3-1)√(1-x^2)
     ⇒ (1/3)x^3√(1-x^2) - (1/3)∫√(1-x^2)dx
  という風に,積分が抜けている.

答えは,
与式 = (1/8)*{x(2*x^(2) - 1)√(1-x^2) + arcsinx}
となります.微分して確認済み.
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    • 0
この回答へのお礼

早速の解答ありがとうございます。大変参考になりました。

お礼日時:2008/10/12 17:08

とりあえず解いてみました。


残念ながらあなたの解答は数学的に
少しおかしいところがあるように思えます。
特に「左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して」は
もともとこれは方程式ではないので不可能です。
また、部分積分でやろうとしてますが、
置換をしたほうがよいでしょう。


まず∫x^2√(1-x^2)dx=(予式)
において、√(1-x^2)はx=sinθ・・・(1) と置換できます。
(1)を微分してdx=cosθdθ・・・(2)
(1)、(2)より
(与式)=∫sin^2θ√(1-sin^2θ)cosθdθ
   =∫sin^2θ|cosθ|cosθdθ
ここで-θ/2≦cosθ≦θ/2 であるから絶対値がはずれ
   =∫sin^2θcos^2θdθ
整理して
   =∫(sinθcosθ)^2dθ
ここで倍角の公式 sin2θ=2sinθcosθ を利用して
   =∫(2sinθcosθ/2)^2dθ
=∫(sin2θ/2)^2dθ
=∫(sin2θ)^2/4dθ
ここで半角の公式 sin^2θ/2=1-cosθ/2 を利用して
   =∫(1-cos4θ/2)/4dθ
=1/8∫(1-cos4θ)dθ
=1/8(θ-sin4θ/4)
=1/8θ-sin4θ/32+C (Cは積分定数)

だと思います。
これは数IIIの範囲での積分ですのでやや特殊ですね。
間違っていたら・・・ごめんなさい。
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この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。
参考にさせて頂き、もう一度問題を解いてみます。

お礼日時:2008/10/16 09:45

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)

Qx/(a^2+x^2)の積分について

x/(a^2+x^2)の積分について

t=a^2+x^2とおいて
dt=2xdx
よって
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫(1/t)dt=(1/2)*log(t)+C
と置換積分により積分することが出来ますが、
部分積分では計算できないのでしょうか?

(a^2+x^2)'=2x
∫(x/(a^2+x^2))dx=(1/2)*∫[(1/(a^2+x^2))*(a^2+x^2)']dx
として計算できると思ったのですが、うまく行きません。
どなたかアドバイス頂けたら幸いです。

Aベストアンサー

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

一般に,積分や微分方程式を解く場合に,ある決まった統一的な,
方法というものがありません.個々の場合について,想像力や創造力を
働かして,個別に,新しく考えねばなりません.そこが,また,魅力とも言えるでしょう.

高校,大学の演習問題ならば,過去に考えられている方法のいずれかが応用できます.
しかし,大学院や社会へ出るなどして直面する問題には,新しい方法を必要とする場合が多いです.
その時は,過去の応用問題は役に立たず,やはり想像力や創造力を発揮しなければ解決しない事が多いでしょう.

そこで,あなたが,

>>「部分積分の形にすることができれば必ず求めたい積分が得られる!」

のではないか,と思い込んだ,その着想が大事なのです.
そういう着想・アイデア・手がかりの思いつき,などがなければ,物事の進歩・発展はないのです.

そう言う,あなたの意識が「お礼」に書かれていましたので,
また,この様な,つたない回答(投稿)となりました.

●(注)些細な事かも知れませんが,f(x)の微分は,
  f(x)' ではなく f'(x) と書くのが正しいと思います.
  手書きで書く時も,カッコの後にプライム(ダッシュ)をつける
   f(x)' ではなく,f にプライムを付けて,f'(x) と書いています.
  私は,学生時代から今に至るまで,永年その様に書いていますが,
  最近の記号法は変わりましたか?

とめどもない書き込みで,お時間を取らせまして,大変失礼いたしました.

#2です.

部分積分 ∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx が,実は,
積の微分 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) を積分して
構成した式である.と言うことは,ご存じでしょう.

また,部分積分の式は,

∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫(f'(x)∫g(x)dx)dx

と書くこともあります.ですから,私は,∫f(x)g(x)dx を得たい時,
まず,∫(f'(x)∫g(x)dx)dx が積分できるかどうかを調べます.

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Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q∫1/x√(x^2+1) の積分について。

∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
√(x^2+1)=t-x
と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。

答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む

Q積分 問題 1/(1-x^2)^2

積分 問題 1/(1-x^2)^2

積分の問題∫1/(1-x^2)^2 dxについて。
(1-x^2)^2 =((1+x)(1-x))^2=(1+x)^2(1-x)^2に変形する。
1/(1+x)^2(1-x)^2=(A/(1+x)^2)+(B/(1+x))+(C/(1-x)^2)+(D/(1-x))
と部分分数分解を行いました。
A=1/4,B=1/4,C=1/4と解けたのですが、Dだけ-1/4となってしまいます。

因みにDの導き方は、Cを求めるために、両辺に(1-x)^2を掛けて、
1/(1+x)^2=(A(1-x)^2/(1+x)^2)+(B(1-x)^2/(1+x))+C+(D(1-x))
として、これをxで1回微分する方法で求めています。

1/(-2(1+x))=(A2(1-x)・(-1)-A(1-x)^2・2(1+x)/((1+x)^2)^2)+
        (B2(1-x)・(-1)-B(1-x)^2・1/(1+x)^2)+D
ここで、分子の(1-x)=0とするためにx=1を代入すると、左辺は-1/4となってしまいます。

どこが間違っているのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

積分 問題 1/(1-x^2)^2

積分の問題∫1/(1-x^2)^2 dxについて。
(1-x^2)^2 =((1+x)(1-x))^2=(1+x)^2(1-x)^2に変形する。
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と部分分数分解を行いました。
A=1/4,B=1/4,C=1/4と解けたのですが、Dだけ-1/4となってしまいます。

因みにDの導き方は、Cを求めるために、両辺に(1-x)^2を掛けて、
1/(1+x)^2=(A(1-x)^2/(1+x)^2)+(B(1-x)^2/(1+x))+C+(D(1-x))
として、これをxで1回微...続きを読む

Aベストアンサー

D(1-x)をxで微分すれば、-D です。

左辺の1/(1+x)^2の微分も、-2/(1+x)^3 です。

Qx/(x^4 +1)の積分

自分の回答では置換積分法を使う事で log|x^8 +1| /2 と出たのですが、回答には arctanx^2/2 と記されていました。
頭の悪い私には「なんで急にarctanが出てて来たの!?」という感じで非常に混乱しています。
誰か教えて頂けませんでしょうか?

Aベストアンサー

x^2=tとおくと
2xdx=dt

∫xdx/(x^4+1)dx
=(1/2)∫du/(u^2+1) (公式使用)
=(1/2)tan^-1(u)+C
=(1/2)tan^-1(x^2) +C

Q(x^3/√(x^2+1))の不定積分

申し訳ありませんが、画像を作成しましたので参照して頂ければと思います。

(x^3/√(x^2+1)) の不定積分なのですが
このように式変形したあと、どのように積分し、答えにたどりつくのかがわかりません。

部分積分などで消えるのかとも試しましたが、うまくいきませんでした・・・

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

置換積分でできると思います。

∫(x^3/√(x^2+1))dx
=∫x√(x^2+1)dx-∫x/√(x^2+1)dx
ここで、x^2+1=tとおくと、2xdx=dtより、xdx=(1/2)dt
=(1/2)∫t^(1/2)dt-(1/2)∫t^(-1/2)dt
=(1/2)×(2/3)t^(3/2)-(1/2)×2t^(1/2)+C
=(1/3)t^(2/3)-t^(1/2)+C
=(1/3)(x^2+1)√(x^2+1)-√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2+1-3)√(x^2+1)+C
=(1/3)(x^2-2)√(x^2+1)+C

でどうでしょうか?確認してみて下さい。

Q積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4

定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
この計算の仕方が分かりません。
x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?
次に半角の公式を使って(この半角の公式とやらがよく分からないのですが)1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり
=π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。
また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう?

Aベストアンサー

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?

正しくは 1 → π/2 です (πと2が逆)

さらに、dx=cosθdθ の cos θ を入れ忘れています

以上を訂正すると

∫[0→π/2]√(cos^2θ) cos θ dθ
= ∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos(θ/2)=±√{(1 + cosθ)/2}

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが

cos(θ)=±√{(1 + cos 2θ)/2}

cos^2 θ = (1 + cos 2θ)/2

で2乗を外せて、積分しやすい形になります

(1/2)∫[0→π/2](1+cos2θ)dθ

=(1/2) [ θ + (1/2) sin 2θ] (0→π/2)

= (1/2){(π/2 + sin π)ー(0 + sin 0)}
= (1/2)(π/2 )
=π/4

> また、π/4 は 45°で、
> cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、
> それとの関係はどうなるのでしょう?

上記の積分の π/4  は面積
π/4 は 45°という時の π/4  は角度
ですので、関係は深く考えても仕方ありません

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?

正しくは 1 → π/2 です (πと2が逆)

さらに、dx=cosθdθ の cos θ を入れ忘れています

以上を訂正すると

∫[0→π/2]√(cos^2θ) cos θ dθ
= ∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos(θ/2)=±√{(1 + cosθ)/2}

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが

cos(θ)=±√{(1 + cos 2θ)/2}

cos^2 θ = (1 + cos 2θ)/2

で2乗を外せて、積分しやすい形に...続きを読む


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