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問題は下記のものです。

問題
5以上の目が出る確率が s (0<s<1) であるサイコロ(立方体状)1個を投げて出た目の数により数直線上をつぎのように動く点P がある。
点P の出発点は原点で、4以下の目が出たときは正の向きに 1 進み、5以上の目が出たときは正の向きに 2 進む。
ここで、事象Aを、「n を自然数として、点P が点n に止まらず、点2n に止まる」とする。
事象Aが起こる確率を求めよ。

確率は不得手で、解答方針がまったくつかめません。手がかりだけでもお教えいただけませんでしょうか?
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (6件)

 事象A「n を自然数として、点P が点n に止まらず、点2n に止まる」の確率をp(n)とします。


 事象Aが起こるといういことは、点Pが点(n-1)で止まり、そこから「5以上の目」を出して2進み、そこからちょうど(n-1)個進んで点2nで止まるということです。
 ここで、点Pが点(n-1)で止まる確率をq(n)としますと、p(n)は次のように書けます。

  p(n)=s*{q(n-1)}^2

 さて、次にq(n)を求めますが、ここでは漸化式を使ってみます。
 点nに止まるということは、点(n-1)に止まって「5以上の目」を出して2進んで点nを飛ばすことの余事象ですから、次の関係が得られます。

  q(n)=1-s*q(n-1)  (また q(1)=1-s )

 後はこれを解いて、q(n)={1-(-s)^(n+1)}/(1+s) を求め、これをp(n)の式に代入すればOKです。

この回答への補足

ごていねいなアドバイスありがとうございます。
ご回答を理解しようとしてがんばりましたが、今朝の起床時刻が早かったせいか、睡魔が襲ってきて、よく理解できません。
すみませんが、明朝、再トライすることにします。

補足日時:2008/10/12 22:08
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 やりましたね!


 大変素晴らしい解答&学習ノートです。
 ここまでなさることができましたら、もうコメントすることはありません。検算もバッチリですし。
 あなたの粘り強さと向学心、そして同じやり方に満足しないチャレンジ精神に敬意を表します。
 良くやり遂げられました!
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この回答へのお礼

Mr_Holland様

いつもながら超迅速なご回答ありがとうございます。
お褒めのおことばをいただき、無上の喜びでございます。
たいへん勇気づけられました。

また数学の質問をさせていただくことがございましたら、
どうぞよろしくお願い申し上げます。

3月中は、まだまだ寒い日がございます。
インフルエンザなど召されませぬよう、お過ごしくださいませ。

愚輩は花粉症で鼻ぐしゅぐしゅですが ・・・・・(蛇足)

お礼日時:2009/03/01 11:49

 #2/#3/#4です。



>早速のご回答ありがとうございます。
>こんなに早くご回答いただけるとは思ってもいませんでした。
>感激です。(見習わせていただかなければいけませんね)

 いえいえ、これは私の癖です。
 逆に、一つのことをやり遂げようとする、あなたの粘り強さに感心しています。慣れないことをすることは大変なことですが、ここまで頑張っておられることはすごいことだと思っています。


>式(8)以降に再挑戦してみたいと思います。
>また何時おわるかわかりませんが。
>乞わずご期待、です。

 新たな補足を記載できるようにするために、この回答の補足欄を用意しておきます。
 この次もうまくメールで連絡があればですが、気がついたら解答したいと思います。
 期待しています。

この回答への補足

Mr_Holland様
新しい答案ができ上がりました。2月中にできてよかったです。
下記しますので、よろしければご覧くださいませ。

(答案-2)
---------------------------------------------------------------------------
はじめから式(1)までは前回の答案と同じです。
---------------------------------------------------------------------------

事象Aが起こる確率をp(n)、点Pがn個進む確率をq(n)とする。
事象Aが起こるといういことは、

点Pが原点から

事象X:(n-1)個進む。
 即ち点(n-1)で止まる。
 そこから
事象Y:「5以上の目」を出して2個進む。
 即ち点(n)を飛ばして点(n+1)で止まる。
 そこから
事象Z:(n-1)個進む。
 即ち点(n+1+n-1)=点(2n)で止まる。

という3つの事象が起こることであり、事象X,Y,Z の順番は、上記の1通りである。
また、事象X,Y,Zが起こる確率は、それぞれq(n-1),s,q(n-1)であり、事象X,Y,Zは
互いに独立であるから、

 p(n)=s*{q(n-1)}^2 -----(1)

---------------------------------------------------------------------------
ここで、q(n-1)を求めるために、q(n)の漸化式をつくることになるわけでありますが、
前回と同様ではおもしろくありませんので、今回はMr_Holland様からお教えいただい
た余事象の考え方でやってみました。
---------------------------------------------------------------------------

点nに止まるということは、点(n-1)に止まって「5以上の目」を出して2進んで点n
を飛ばすことの余事象だから

 q(n)=1-s*q(n-1) -----(2)

これより、
 q(k+2)=1-s*q(k+1) -----(3)
 q(k+1)=1-s*q(k) -----(4)

(3)-(4)
 q(k+2)-q(k+1)=-s*{q(k+1)-q(k)}

よって、
 q(k+1)-q(k)={q(2)-q(1)}*(-s)^(k-1) -----(5)

ところで、
 q(1)=1-s -----(6)

点(2)に止まることは、互いに排反な「原点から2進むこと」と「原点から1進むこと
が2回続くこと」の和事象であるから
 q(2)=s+(1-s)^2=1-s+s^2 -----(7)

---------------------------------------------------------------------------
上記(7)は前回まちがえた処であります。
今回は、Mr_Holland様のご指摘事項とq(2)の式とをそのまま使わせていただきました。
---------------------------------------------------------------------------

(5),(6),(7)より
 q(k+1)-q(k)={1-s+s^2-(1-s)}*(-s)^(k-1)
       =(s^2)*(-s)^(k-1)

すなわち、数列 {q(n)} の階差数列は、初項 s^2、公比 -s の等比数列であるから、

 n>1 のとき
 s>0 または s=0 より、-s<0 または -s=0 となるので、1-(-s)=0 ではないことより
 q(n)=q(1)+[ (s^2)*(-s)^(k-1) の k=1~n-1 の和 ]
   =q(1)+(s^2)*{1-(-s)^(n-1)}/{1-(-s)}
   =q(1)+(s^2)*{1-(-s)^(n-1)}/(1+s) -----(8)

(6),(8)より
 q(n)=1-s+(s^2)*{1-(-s)^(n-1)}/(1+s)
   ={(1+s)(1-s)+(s^2)-(s^2)*(-s)^(n-1)}/(1+s)
   =[1-{(-s)^2}*(-s)^(n-1)]/(1+s)
   ={1-(-s)^(n+1)}/(1+s)
すなわち、
 q(n)={1-(-s)^(n+1)}/(1+s) -----------------(9)

---------------------------------------------------------------------------
これで、Mr_Holland様の q(n) の式と一致しました。 やれやれ。
---------------------------------------------------------------------------

(9)において
 n=1 のとき
 q(1)={1-(-s)^(1+1)}/(1+s)
   ={1-(-s)^(1+1)}/(1+s)
   ={1-(-s)^2}/(1+s)
   ={1-s^2}/(1+s)
   =(1-s)(1+s)/(1+s)
   =1-s

これは(6)に一致する。
すなわち、(9)は n=1 のときも成り立つ。

(9)より
 q(n-1)={1-(-s)^n}/(1+s) -----(10)

(1),(10)より
 p(n)=s*[{1-(-s)^n}/(1+s)]^2
   =s*{1-(-s)^n}^2/(1+s)^2

(答) p(n)=s*{1-(-s)^n}^2/(1+s)^2

補足日時:2009/02/28 16:27
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 #2/#3です。


 とても久しぶりですね。
 回答していたことも忘れていましたが、時間がかかってもご自分なりの解答をとても丁寧に作られたことから、ご回答したいと思います。

 q(n)を求めるのに余事象を使わずに、点(n)に到達する1つ手前に着目して漸化式を作ることも1つの方法です。この方法でも、手間がかかりますが正確に行えば同じ答えが得られます。

>なお、答案内容で少々気になりますのは、式(7)および式(10)の表記なのですが、これでよいのでしょうか?

 ご解答の中身ですが、ご不安の式(7)と式(10)はきちんとできています。特性方程式の考え方(q(n+2)をt^2、q(n+1)をt、q(n)を1と置いたときのtの二次方程式の解)からも求めることができますが、godsavemeさんの方法でもOKです。
 さて、その次なのですが、式(8)の「q(2)=s」に誤りがあります。
 ミスはここだけです。あとは他により簡便な方法はありますが、答えを得るには支障ありません。



 点(2)に止まることは、互いに排反な「原点から2進むこと」と「原点から1進むことが2回続くこと」の和事象ですから、その確率q(2)は次のようになります。

  q(2)=s + (1-s)^2 =1-s+s^2

 この値を使うと、式(9)、式(11)はそれぞれ次のようになります。

  q(n+1)+s*q(n)=1、 q(n+1)-q(n)=(-s)^(n+1)

 あとは、godsavemeさんがなされたように、これらを連立してq(n+1)を消去すれば、q(n)を次のように求められると思います。

  q(n)={1-(-s)^(n+1)}/(1+s)


 ちなみに、q(n+1)とq(n)の2項の漸化式からq(n)の式だけを得るときに上記のように連立方程式を使われていましたが、q(n+1)とq(n)をともにαと置いた漸化式を簡略化する方法もあります。
 例えば、上記の q(n+1)+s*q(n)=1 について当てはめてみますと、次のようになります。

  α+sα=1 ∴α=1/(1+s)

 漸化式:q(n+1)+s*q(n)=1 は次のように変形できます。

  q(n+1)-α=-s{q(n)-α}
 ∴q(n)=(-s)^(n-1) {q(1)-α} +α

 α=1/(1+s)、q(1)=1-sですから、q(n)は次のように求められます。

  q(n)=(-s)^(n-1) {1-s-1/(1+s)} +1/(1+s)
    ={1-(-s)^(n+1)}/(1+s)

この回答への補足

Mr_Holland様

早速のご回答ありがとうございます。
こんなに早くご回答いただけるとは思ってもいませんでした。
感激です。(見習わせていただかなければいけませんね)

式(8)のご指摘、ありがとうございます。
答の式がかなり複雑なので、なんとなく変だな、という感じはあったのですが。
ふだんのおっちょこちょいで早合点な性格が出たようでございます。

式(8)以降に再挑戦してみたいと思います。
また何時おわるかわかりませんが。
乞わずご期待、です。

補足日時:2009/02/11 21:53
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 #2です。

お礼をありがとうございます。
 誤記がありましたので、訂正します。

> ここで、点Pが点(n-1)で止まる確率をq(n)としますと、p(n)は次のように書けます。

(正)ここで、点Pが点(n-1)で止まる確率をq(n-1)としますと、p(n)は次のように書けます。


>ご回答を理解しようとしてがんばりましたが、今朝の起床時刻が早かったせいか、睡魔が襲ってきて、よく理解できません。
>すみませんが、明朝、再トライすることにします。

 どうぞゆっくり休んでから取り組んで下さい。

この回答への補足

超超超おそくなりましたが、答案ができましたので、厚かましいお願いでありますが、
お暇なときで結構ですので、ご覧くださいませ。

===========================================================================
(答案)

事象Aが起こる確率をp(n)、点Pがn個進む確率をq(n)とする。
事象Aが起こるといういことは、

点Pが原点から

事象X:(n-1)個進む。
 即ち点(n-1)で止まる。
 そこから
事象Y:「5以上の目」を出して2個進む。
 即ち点(n)を飛ばして点(n+1)で止まる。
 そこから
事象Z:(n-1)個進む。
 即ち点(n+1+n-1)=点(2n)で止まる。

という3つの事象が起こることであり、事象X,Y,Z の順番は、上記の1通りである。
また、事象X,Y,Zが起こる確率は、それぞれq(n-1),s,q(n-1)であり、事象X,Y,Zは
互いに独立であるから、

 p(n)=s*{q(n-1)}^2 -----(1)

---------------------------------------------------------------------------
ここで、q(n-1)を求めるために、q(n)の漸化式をつくる(漸化式とは思いつきませ
んでした)ことになるわけですが、Mr_Holland様からいただいた考え方は、
下記のようでありました。

「点nに止まるということは、点(n-1)に止まって「5以上の目」を出して2進んで
点nを飛ばすことの余事象・・・」

愚輩におきましては、このような洗練された考え方は、とても思い付きそうにあり
ませんので、下記のような愚鈍な方法でq(n)の漸化式をつくってみました。
---------------------------------------------------------------------------

点Pがn個進むということは、つぎの事象Q1,Q2のいずれかが起こることである。

事象Q1:点Pが(n-2)個進み、そこから「5以上の目」を出して2個進む。
    (この事象が起こる確率は、 s*q(n-2) )

事象Q2:点Pが(n-1)個進み、そこから「4以下の目」を出して1個進む。
    (この事象が起こる確率は、 (1-s)*q(n-1) )

事象Q1,Q2は互いに排反であるから、

 q(n)=s*q(n-2)+(1-s)*q(n-1)

したがって、
 q(n+2)=s*q(n)+(1-s)*q(n+1)
すなわち
 q(n+2)-(1-s)*q(n+1)-s*q(n)=0 -----(2)

(2)を変形するために、
 q(n+2)-u*q(n+1)=v*{q(n+1)-u*q(n)} -----(3)
として、これを変形すると、
 q(n+2)-(u+v)*q(n+1)+u*v*q(n)=0 -----(4)

(2)と(4)が同値であるための条件は、
 u+v=1-s かつ u*v=-s
 
これより、
 u=-s, v=1 -----(5)
または
 u=1, v=-s -----(6)

(3),(5)より
 q(n+2)+s*q(n+1)=q(n+1)+s*q(n)
  =q(2)+s*q(1) -----(7)

ところで、
q(2)=s, q(1)=1-s -----(8)

(7),(8)より
 q(n+1)+s*q(n)=s+s*(1-s)
すなわち
 q(n+1)+s*q(n)=2s-s^2 -----(9)

(3),(6)より
 q(n+1)-q(n)=-s*{q(n+1)-q(n)}
  ={q(2)-q(1)}*(-s)^(n-1) -----(10)

(8),(10)より
 q(n+1)-q(n)=(2s-1)*(-s)^(n-1) -----(11)

(9)-(11)より
 (s+1)*q(n)=2s-s^2+(1-2s)*(-s)^(n-1)

s>0 または s=0 であるから、s+1=not0
よって、
 q(n)={2s-s^2+(1-2s)*(-s)^(n-1)}/(s+1)
 
したがって、
 q(n-1)={2s-s^2+(1-2s)*(-s)^(n-2)}/(s+1) -----(12)

(1),(12)より
 p(n)=s*[{2s-s^2+(1-2s)*(-s)^(n-2)}/(s+1)]^2
 すなわち
 p(n)=s*{2s-s^2+(1-2s)*(-s)^(n-2)}^2/(s+1)^2

(答) 事象Aが起こる確率は s*{2s-s^2+(1-2s)*(-s)^(n-2)}^2/(s+1)^2
===========================================================================

以上が私の答案でございます。

なお、答案内容で少々気になりますのは、式(7)および式(10)の表記なのですが、
これでよいのでしょうか?
よろしければ、ご教授いただけましたら幸いです。

また、その他ご批評などお聞かせいただければ無上の喜びでございます。

以上。   (2009/2/9)

補足日時:2009/02/09 12:49
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削除されないためにも,とりあえず,


具体的にn=1,2,3,4,5 のときについて考えてみてはいかがですか?
得られたもの考えを補足に書いてくださいな.
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