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長径2a、短径2bの楕円があり、長軸と短軸の交点座標(いわゆる中心点)を(0,0)とする

この中心点からx軸からの角度αで直線を引き、楕円との交点座標を(x1,y1)とし、
また、この座標がx軸に対して対称な座標を(x1,-y1)とする

この2点に対して楕円の接線を引いて、2つの線の角度をβとする


この条件で(x1,y1)座標と角度βを、a,b,角度αを用いて表現する方法はないでしょうか?
色々考えてみたのですがどうも上手くいきません。
どうかよろしくお願いします。

A 回答 (4件)

 楕円の極座標表示を用いればよいと思います。


 長軸がx軸と一致しているとしますと次のようになります。

  x1=a cosθ、 y1=b sinθ

 ここで、tanα=y1/x1 なので、tanθ=a/b tanα を上の2式に代入して、まずx1とy1を次のように表します。

  x1=a/√{1+(tanθ)^2} =a/√{1+(a/b tanα)^2}
  y1=b/√{1+(1/tanθ)^2}=b/√[1+{b/(a tanα)}^2]

 次に、点(x1,y1)に於ける接線の方程式は、x1x/a^2+y1y/b^2=1 なので、接線の傾きの絶対値は (b/a)^2 x1/y1 ですから、βと次の関係があります。

  tan(β/2)=(b/a)^2 x1/y1
 ∴β=2 arctan{(b/a)^2/tanα}
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この回答へのお礼

申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます

なるほど、媒介変数表示ならば、ある程度まとまった式で出せますね
とても参考になりました

お礼日時:2008/10/15 19:38

削除されなければ良いのですが…



(x1,y1)は,
  y1 = (tanα)x1
  (x1)^2/a^2 + (y1)^2/b^2 = 1
の2つを連立させて解けば,
  x1 = ±ab/√(b^2 + (a*tanα)^2)
  y1 = ±ab*tanα/√(b^2 + (a*tanα)^2)   (複合同順)
また,2接線の角度βについては,楕円方程式,
  x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
の両辺を x について微分すると,
  2x/a^2 + 2y*y'/b^2 = 0
  ∴ y' = -(b/a)^2 * (x/y)
この式にx = x1 , y = -y1 を代入(y = y1 でもよい)して,y1 = (tanα)x1 より,
  y' = (b/a)^2 * (x1/y1) = (b/a)^2 * (1/tanα)
これは,接線の傾きを表している.2つの接線はx軸で交わり,x軸はβを2等分するので,
  tan(β/2) = (b/a)^2 * (1/tanα)
2倍角の公式より
  tanβ = 2tan(β/2)/{1 - (tam(β/2))^2}
     = 2tanα*(ab)^2/{a^4 * (tanα)^2 -b^4}
如何でしょうか.
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この回答へのお礼

申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます

その方法で初め計算していたのですが、キレイに出なかったの諦めていたのですが・・・出ましたか
私の計算力不足のようです
とても参考になりました

お礼日時:2008/10/15 19:53

 #1です。



>楕円の極座標表示を用いればよいと思います。

 ごめんなさい。媒介変数表示 の誤りでした。
 この表示の考え方を図示しているサイトがありましたので、よかったら参考にして下さい。

http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CTr …
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この回答へのお礼

補足ありがとうございます

お礼日時:2008/10/15 19:57

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 と


y = tan(α) x の連立方程式を解く。
原点対称に2つの解が得られるはずです。きれいな式になる可能性は薄いですが。

楕円の接線は
x1*x/a^2 + y1*y/b^2 = 1となるので、
傾きは - x1/y1 * b^2/a^2
となるので、
角度は対称性を考えて
2*arctan(x1/y1 * b^2/a^2)
になります。

具体的な計算はそちらでお願いします。
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この回答へのお礼

申し訳ありません。お礼の方、遅れました
回答ありがとうございます

その方法で最初やっていたのですが、中々きれいな式にならず四苦八苦していたのです。
私の言葉足らずでした。申し訳ありませんm(_ _)m
丁寧な説明に感謝いたします

お礼日時:2008/10/15 19:46

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