ちょっと変わったマニアな作品が集結

ある命題で、背理法を用いて解くと、その命題が真であると言えるのがなぜなのかがわかりません。(解き方ではなくて、どうして背理法で真だと言えるのかが分からないのです。)背理法が成り立つ理由を教えて下さい。

A 回答 (5件)

あなたの名前が山田太郎だとします。


そして、山田家は父、母、兄、弟との5人家族だとします。
(一般の人々)>(山田家の人々)>(山田太郎君)の包含関係を
図に描いてみてください。
山田太郎君は山田家の一人です。・・・・・命題とします
山田家の一人なら山田太郎君です・・・・・逆
山田太郎君でなければ山田家の人でない・・裏
山田家の人でないなら山田太郎君でない・・対偶
ここで、命題と対偶が同値であること図で確認して下さい。
そして、背理法は、対偶を証明する事で命題の真を導くので、絶対的な証明法です。
具体的には、上の命題を証明するためには、「山田家以外には山田太郎は存在しない」を証明すれば、命題が真である事がいえます。
もとろん「おれも山田太郎だ」という人は「ニセ山田太郎」とみなします。
もうひとつ具体例を示すと、「犯人は、この時刻に現場にいた」が
真実ならば、「この時刻に現場にいなかった容疑者は犯人でない」が証明できます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

具体的なご回答をありがとうございました。
とても、身近な感じで、工夫して下さり、ありがとうございました。
数学は、むずかしいですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/14 23:05

命題Aが真、偽のいずれかを必ず取るとしましょう。


今回は真を1、偽を0をしましょう。
Aが真のときA=1
Aが偽のときA=0
と書くことにしましょう。

また否定をnot(A)と表記し、真偽が逆転されるので
A=1ならnot(A)=0
A=0ならnot(A)=1
です。

論理演算をします。(orを∪、andを∩としましょう)
A∪not(A) = 1 …(*)
が常に成立します。(これが成り立たないという学者もいますがとりあえずは無視しましょう)

orの性質上
A∪B=1 かつ B=0 ならば A=1でなければならないので
(*)でnot(A)=0ならA=1でなければなりません。

なので、否定したものを仮定して論理が矛盾し偽であることを示す背理法が成立することになります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

親切に分かり易い詳しいご回答をありがとうございました。
何故背理法が成立するのかよく分かりました。
お世話になりました。
ありがとうございました。感謝します。

お礼日時:2008/10/14 22:59

端的に言えば、「そのように仮定したから」です。



背理法が成り立つというのは、数学に触れる多くの人に共通の信念で、
それ以上のものではありません。(私も、それを信じていますが。)
法則的…というか、形式的には、それは、論理系の公理のひとつとして
仮定されたものです。そのような公理(排中率)を認めない立場の論理学
もあり、それに従う数学もあります。↓

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3% …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ご回答をありがとうございます。
違った考え方まで、ご紹介いただき、ありがとうございました。
(ちょっと、驚きでした。)
数学って、すごいなぁと思いました。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/14 22:54

言明Aの否定 ¬A があり、¬A とAの和が全体であるとします。


そのとき¬Aが不成立ならAが成立しなければなりません。
このとき言明Aが初めから不合理であるという空集合は許されません。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。すごい!!!
簡潔で、大変分かり易い素晴らしい回答をありがとうございました。はい、理解できました。すっきりしました。
感動です。感無量です。尊敬します。
ありがとうございました。感謝します。
ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/13 21:26

世の中にはイエスかノーのどちらかしか無いとの信念によるものです。

この回答への補足

すみませんが、よく、分かりません。これは、koko_u_さんの信念でしょうか?法則的なものを教えていただけるとよいのですが・・・?

補足日時:2008/10/13 21:27
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答していただき、ありがとうございました。

お礼日時:2008/10/14 23:06

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q背理法を使うとき

今、代数で背理法を習いました。
背理法がどういう物なのかは理解できたのですが、どういう場面で使えばいいか分かりません。

例えばAという問題は、背理法を使わないと解けないとします。
その場合、「背理法で証明できる」という事実は分かるのですが、なぜ背理法を使うのかが分かりません。
問題をぱっと見ただけで、「これは背理法でないと解けない」ということは分かりませんよね。

これは、経験がものを言うところなのでしょうか……
それだったら仕方ないのですが、そうでなければ背理法がどういう場面で使えるか教えてください。

出来れば、私立中学生が分かる範囲でお願いします。

Aベストアンサー

(1)「部屋Aの中のどこかにダイヤモンドが隠されていることを証明せよ。」
(2)「部屋Bの中にはどこにもダイヤモンドが隠されていないことを証明せよ。」

さて、直感的にどちらの証明の方が簡単だと思いますか?
もちろん(1)ですよね。
(1)は、実際に部屋Aの中からダイヤモンドを探し出せば、証明終わりです。

(2)は大変ですね。普通の方法では、部屋の中を隅から隅までくまなく探して、どこにも無いことを確認しなくてはなりません。
でもあなたが「ダイヤ探知機」を持っていた場合はどうでしょうか。

 この部屋にダイヤがあると仮定する。
 ダイヤがあるなら、ダイヤ探知機が反応するはずだ。
 しかし、実際にはダイヤ探知機は反応しない。→矛盾!

あっという間に、背理法で証明できてしまいました。


一般的に、背理法は「正攻法」ではうまくいかない証明に使えることが多いです。
上の(2)の場合、隅から隅までのしらみつぶし戦法という正攻法では、かなり証明は困難です。
こういう時は、背理法を試してみる価値があります。(もちろん必ずうまくいくとは限りませんが)


実際の数学の問題に照らし合わせて見ましょう。
「√2は有理数でないことを証明せよ」

正攻法=しらみつぶし戦法で行くならば、
 1/2は√2とは異なる。
 1/3は√2とは異なる。
 1/4は√2とは異なる。
 2/3は√2とは異なる。
 ・・・・・・
などと、一つ一つの有理数に対して、√2とは異なることをそれぞれ調べてゆくことになります。しかし、実際には有理数は無限に存在するので、それでは終わりませんね。

そういう時こそ背理法なのです。
いくらでもある有理数と√2を《すべて》比較するよりも、(複数あるかもしれない)矛盾を《一つ》探し出すだけの方が、明らかに簡単ということなのです。


さて、もちろん、有理数・無理数の証明以外にも背理法が有効な場合はたくさんあります。
背理法が使えるかどうかの目安としては、(あくまでも目安です)
命題に「ない」が含まれているかどうかがポイントです。例えば、
「有理数で《ない》ことを証明せよ」
「……となる可能性は《ない》ことを証明せよ」
「どの場合も……が成り立た《ない》ことを証明せよ」
という感じです。

最後になりますが、やはりある程度は慣れがものをいいます。証明問題を解くたびに、背理法が使えるかどうか意識して考えるようにすると、段々と使える使えないの区別が付くようになってきます。
慣れないうちは、手当たり次第に背理法を試してみるというのでもかまいません。自然と区別は付くようになりますから。
それでもやはり、上に書いた「しらみつぶし」と「ない」の二点は区別をするヒントになることが多いので、心にとどめて置いてください。

(1)「部屋Aの中のどこかにダイヤモンドが隠されていることを証明せよ。」
(2)「部屋Bの中にはどこにもダイヤモンドが隠されていないことを証明せよ。」

さて、直感的にどちらの証明の方が簡単だと思いますか?
もちろん(1)ですよね。
(1)は、実際に部屋Aの中からダイヤモンドを探し出せば、証明終わりです。

(2)は大変ですね。普通の方法では、部屋の中を隅から隅までくまなく探して、どこにも無いことを確認しなくてはなりません。
でもあなたが「ダイヤ探知機」を持っていた場合はどうでしょうか。

...続きを読む

Q1000本のワインがあって、1つは毒入りです。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければなりません(理由はAに書きます)
しかし4時より後に飲んだ場合は24時より後に死ぬ可能性があるため、毒を見逃す可能性があります。

ゆえに10時より後には飲めません。


A、もし10時以内に飲んだ場合
死んだとしても最初に飲んだワインによるものなのか後に飲んだワインによるものかわからないからです。
一本目の死ぬ可能性のある時間帯は10~20時
二本目を例えば9時に飲んだとしたら死ぬ時間帯は19~29時になります。
つまり19~20時に死んだ場合、その死が一本目によるものなのか二本目によるものなのかわからないからです。


ゆえに1人1本しか検査できません。

従って1000本には1000人必要です。





こういう答えがでたんですが、答えは10人なんだそうです…

先生にだされた問題だとか。


どうして10本になるのでしょうか?


困ってます。

1000本のワインがあって、1つは毒入りです。
1滴でも飲むと、10h~20hで死にます。
今から24h以内に、毒ワインを自分のドレイに飲ませることで、判別したい。
これには最低何人のドレイを要するか?




以下がこれに対する僕の回答です。




結論から言うと1000人必要です。


まず0時から検査を開始します。

24時までに終わらせなければなりません。




まず0時にx人がそれぞれで一本検査します。

死ぬのは10~20時ですね
二本目を検査するためには
10時より後に飲まなければ...続きを読む

Aベストアンサー

ついでに書いておこうかな(^^)
2進数                 10進数
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   1番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0   2番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1   3番目のワイン
 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0   4番目のワイン
 ・・・【中略】・・・
 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1  999番目のワイン
 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1,000番目のワイン
奴隷は上に1があればそれを飲む
 A B C D E F G H I J  10人

Q大学数学の勉強のしかた

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

(2)高校では、公式を覚え、問題を解いてました。大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでしょうか?

(3)定理などは全て証明がついていますが、これらの証明を全て自力でできるようにならなければならないのでしょうか??

今、微積分、線形代数、集合論、ルベーグ積分などを勉強しています。今僕がやっている方法は、教科書の定理、定義などを暗記し、証明はわかるところだけ読んでいます。問題演習は、やったりやらなかったりです。
しかし、この方法だと、定理などの証明が理解できないことが多く、なかなか先に進みません…

以上が、勉強していく上での疑問です。どなたかアドバイスいただければ幸いです。

大学で学ぶ数学の勉強の仕方に迷っています。

(1)高校までは、公式を覚える→問題演習 という流れで勉強をしていました。高校数学は、大学入試の問題が解けることがゴールだと思っていました。しかし、大学の数学は、何ができればゴールなのでしょうか?

(2)高校では、公式を覚え、問題を解いてました。大学の数学では定理、定義、命題、補題など、公式らしきものの量が多いですよね?全て覚えようとしたら相当な暗記量を強いられます。これらは全て暗記、または自力で導き出せるようにする必要があるのでし...続きを読む

Aベストアンサー

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
 本格的な数学の学び方に関する本であれば、

伊原 康隆 (著)志学数学―研究の諸段階・発表の工夫 シュプリンガー数学クラブ
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431711406/

数学セミナー編集部 (編集)数学ガイダンスhyper
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535784272/

ブックガイド <数学>を読む 岩波科学ライブラリー 113
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000074539/

などは薄いし、大学図書館にも入っているでしょうし、一読する価値はあると思います。

 また、日本評論社の『数学セミナー』、サイエンス社の『数理科学』、現代数学社の『理系への数学』といった理系の大学生向けの数学雑誌が大学図書館に入っていないわけはないと思いますし、時期的に勉強の仕方を扱った記事も載っていると思いますから、少し時間を作って、バックナンバー含め眺められてはいかがでしょうか。

大学での学び方に関する本は何冊も出版されていますから、図書館で探されてはいかがでしょう。
 本格的な数学の学び方に関する本であれば、

伊原 康隆 (著)志学数学―研究の諸段階・発表の工夫 シュプリンガー数学クラブ
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431711406/

数学セミナー編集部 (編集)数学ガイダンスhyper
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535784272/

ブックガイド <数学>を読む 岩波科学ライブラリー 113
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000074539/

...続きを読む

Q東京大学と国立医学部どっちがむずかしいのですか?

きになってみたので質問しました。
どちらのほうがむずかしいのでしょうか?
東京大学なら理三は抜きでおねがいします。

Aベストアンサー

単純に数値の比較だけでなく、総合的に見れば東京大学の理一・ニよりもほとんどの国立大学医学部の方が入学することに関しては難しいと言えます。他の回答者の方も仰っていますが、国立大学医学部に模試でA、B判定が出るようならば、東大理一・ニにはかなり余裕でA判定が出ます。

偏差値で単純比較するのが困難なのは、東大理一・ニと国立大学医学部とでは定員がまったく違うからです。理一・ニは約1000人・500人といった定員がありますが、医学部は100人弱の定員ですし、医学部人気の昨今の受験事情を考えるとこの倍率の面の差が大きく、国立医学部がより難しいということになります。

まあ、医学部というところ自体が特殊なところで、ずっとA判定が出ている医学部を受験しても落ちることはざらにあります。さらに旧帝大系の医学部、千葉などの旧医大系、その他では東京医科歯科大などの難関校のようにほぼ毎年難易度が上位で安定している大学を除けば、どの国立大学医学部もその年のセンター試験の動向次第で志願者の増減の変動が激しく、相当難易度が浮き沈みしますので単純に偏差値的に下位の国立大学医学部は東大より簡単とも言えませんし、逆に年によっては“結果的に”東大理系よりも入るのが簡単だったのではないか、と思える国立大学医学部もあります。

最後に5ランクでかなり大雑把にまとめると、

S、東大理三、京大医
A、その他旧帝大系医学部
B、千葉大などの旧医大系・東京医科歯科などの難関校
C、(特に首都圏近辺にある)公立大学医学部
D、東京大学理一・ニ、その他国(公)立大学医学部(年により変動の可能性有り)

というランクわけになると思います。
(昔から医学部には“旧帝大、旧医大、旧医専、その他”の順のランク分けがありますが、このランク分けに加えて首都圏近辺の国公立大医学部の人気が地方国公立大学医学部に比べて高くなるという事実があり、例えば、医科歯科は旧医専ですが、東京にあるため、地方の旧医大系よりも難易度が高かったりします。)

単純に数値の比較だけでなく、総合的に見れば東京大学の理一・ニよりもほとんどの国立大学医学部の方が入学することに関しては難しいと言えます。他の回答者の方も仰っていますが、国立大学医学部に模試でA、B判定が出るようならば、東大理一・ニにはかなり余裕でA判定が出ます。

偏差値で単純比較するのが困難なのは、東大理一・ニと国立大学医学部とでは定員がまったく違うからです。理一・ニは約1000人・500人といった定員がありますが、医学部は100人弱の定員ですし、医学部人気の昨今の受験...続きを読む

Q2次方程式の共通解

高校1年です!

x^2+x+k=0
x^2+4x+3k=0
が共通の解をもつよに定数kの値を定めよ。また、その共通な解を求めよ。

という2次方程式の共通解の問題がわかりません。

どうやってとけばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんは、
共通解の問題ですので 共通解をαとします。そうすると
α^2+α+k=0 --- (1)
α^2+4α+3k=0 -----(2)

となります。 ここで(2)-(1)をすると
3α+2k=0 k=-3/2α
となります。 この kを (1)似代入すると

α^2-1/2α=0 --- (1)
となり αがもとまります。

後はご自身でがんばってください。


人気Q&Aランキング