出産前後の痔にはご注意!

自分の解き方で間違ってないか、ご指南おねがいします。

問:次の関数の原始関数を求めよ。
(1) f(x)=(3x+1)^5

∫(3x+1)^5 dxより、
3x+1=tとおくとdt=3dx。
∫t^5 dx=∫t^5・(1/3)dt
f'(x)=5・3・(3x+1)^4 +C (Cは積分定数)

(2) g(x)=1/(x(x^2+1))
g'=(-3x^2-1)/(x^3+x)^2 +C (Cは積分定数)
間違っているなら、計算途中のヒントをいただければ
ありがたいです。

A 回答 (4件)

計算用紙を用意してください.



まず,原始函数を求めたい函数を書きます:
 f(x) = (3 x + 1)^5.
書けたら,右肩の 5 という数字を○で囲って,そこに注目します.
微分して 5 乗が出てくるということは,微分する前は何乗だったのでしょう.
微分して 1 小さくなって 5 ということは,もとは 6 だったはずですね.
そこで,とりあえず,
(3 x + 1)^6
と書きましょう.
ついでに,6 を○で囲って,先ほどの○から矢印を引き,
 (5) ---> (6)
などとしておきましょう.
あとで見やすくするためです.

さて,(3 x + 1)^6 を微分して,f(x)にどのくらい近づいたか見てみましょう.
先ほど書いた (3 x + 1)^6 から続けて
 (3 x + 1)^6 --- 微分 ---> 18 (3 x + 1)^5 = 18 f(x)
と新たに書き,最後の 18 に波線を引いてください.
ここで,18 が x を含まない式であることに注意.
定数倍は微分の内外に自由に出入りできましたね.

したがって,
 F(x) = (1/18) (3 x + 1)^6
とおけば,
F(x) の微分が f(x) になる,
つまり,F(x) は f(x) の原始函数となるわけです.
上の F(x) の式も書いて,1/18 に波線です.
先ほど 18 に引いた波線から今回の波線に矢印を引いておきましょう.

最後に検算の意味も込めて,
F(x) を微分して f(x) になることを確認しておきます.

確認できたら,いま書いた計算をよく見直して,
この問題の感覚をつかんでください.


本当は,論理的に理解するのが一番なんですけどね・・・.
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この回答へのお礼

ものすごい丁寧な解説、ありがとうございます。
周りに頼る人もなく、教科書とにらめっこで勉強していましたので
親切に教えていただき、涙がでるほどうれしいです。
正しい計算プロセスや考え方がよくわかりました。
(2)の問題も、がんばって今日中に正しい答えを導けるよう頑張りますので、
もう少しご指導よろしくお願いします。

お礼日時:2008/10/24 06:26

あってません。


No2の方へのお礼でも間違ってます。

微分して元の関数に戻るのを確認してますか?
微分してみたら違ってるのがわかると思いますよ?

部分分数分解も間違ってます。

不定積分は、微分して元に戻る関数を「見つける」感覚が強いと思いますよ。

今回の積分では必要ないはずだが、
∫dx/(1+x^2)はlog|1+x^2|ではない
∫dx/(1+x^2) = arctan(x)です。

この回答への補足

(2)の問題ですが
1/(x(x^2+1) = 1/x - x/(x^2+1) = 1/x - (1/2)*2x/(x^2+1)
= 1/x - (1/2)*(x^2+1)'/(x^2+1)より、
G(x)=log|x| - (1/2)log|x^2+1|

これで正解でしょうか? ご指導お願いします。
すみませんが今から家を出なくてはいけませんので、返信は夕方になると思います。

補足日時:2008/10/24 07:15
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この回答へのお礼

重ね重ね、ご指導ありがとうございます。
確かに、元に戻りませんでした。
何度も何度もすいませんでした。
(2)の問題の正解が導けるよう、もう少し頑張ってみます。

お礼日時:2008/10/24 06:22

(1)の答案の途中までは,不器用ながらも許容できる範囲内ですが・・・,


最後で,それまでを完全に無にすることをしていますね.

函数 f(x) の原始函数 F(x) とは
F'(x) = f(x)
を満たす函数のことです.
つまり,微分して f(x) になる函数を言います.
f(x) を微分して得られる f'(x) は導函数と言い,原始函数とは別物です.
F(x) --微分--> f(x) --微分--> f'(x)

函数 f(x) の原始函数は?と問われたら,
何を微分すれば f(x) になるかを考えましょう.


(2)の原始函数を求めるには,普通,部分分数展開を用います.
因数分解された形で分母が書かれている理由を考えましょう.
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この回答へのお礼

丁寧な解説、ありがとうございます。
おかげで自分が覚え違いをしていた箇所がよくわかりました。
大変ありがとうございました。
早速、計算をし直してみました。

(1)の答えは、↓でいいでしょうか?
 F'(x)=15(3x+1)^4

また(2)の答えは、
 1/x(x+1) = 1/x - 1/(x+1)の部分展開より、
 1/x(x^2+1) = 1/x - 1/(x^2+1) = log|x|-log|x^2+1|
であってますでしょうか?

お礼日時:2008/10/23 23:05

間違っています。



関数 f(x) の原始関数とは、不定積分 ∫f(x)dx のことです。
微分して得られるのは、導関数です。
貴方のは、「積分定数」を足してしまっているので、
導関数でもありませんが…

計算のヒント: 微分しないで、積分しましょう。
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この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます。導関数と原始関数をごっちゃにしていたようです。

お礼日時:2008/10/23 23:06

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一つ一つ積分を考えれば、
6ⅹ^2 ⇒ 6/(2+1)×x^(2+1)=2ⅹ^3
-8ⅹ  ⇒ -8/(1+1)×ⅹ^(1+1)=-4ⅹ^2
5    ⇒ 5/1×ⅹ^(0+1)=5ⅹ
ですから、答えは

∫(6ⅹ^2-8ⅹ+5)dx=2ⅹ^3-4ⅹ^2+5ⅹ+C
                  (Cは任意の定数)

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よって、
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→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
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合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
x^3 → 3x^2 → 6x→ 6 →0(以降すべて0)
sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*D^(n)(sin(x))+C[n,1]*3x^2*D^(n-1)(sin(x))+C[n,2]*6x*D^(n-2)(sin(x))+C[n,3]*6*D^(n-3)(sin(x))
となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
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ライプニッツの公式は,2項定理
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D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
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