No.4ベストアンサー
- 回答日時:
計算用紙を用意してください.
まず,原始函数を求めたい函数を書きます:
f(x) = (3 x + 1)^5.
書けたら,右肩の 5 という数字を○で囲って,そこに注目します.
微分して 5 乗が出てくるということは,微分する前は何乗だったのでしょう.
微分して 1 小さくなって 5 ということは,もとは 6 だったはずですね.
そこで,とりあえず,
(3 x + 1)^6
と書きましょう.
ついでに,6 を○で囲って,先ほどの○から矢印を引き,
(5) ---> (6)
などとしておきましょう.
あとで見やすくするためです.
さて,(3 x + 1)^6 を微分して,f(x)にどのくらい近づいたか見てみましょう.
先ほど書いた (3 x + 1)^6 から続けて
(3 x + 1)^6 --- 微分 ---> 18 (3 x + 1)^5 = 18 f(x)
と新たに書き,最後の 18 に波線を引いてください.
ここで,18 が x を含まない式であることに注意.
定数倍は微分の内外に自由に出入りできましたね.
したがって,
F(x) = (1/18) (3 x + 1)^6
とおけば,
F(x) の微分が f(x) になる,
つまり,F(x) は f(x) の原始函数となるわけです.
上の F(x) の式も書いて,1/18 に波線です.
先ほど 18 に引いた波線から今回の波線に矢印を引いておきましょう.
最後に検算の意味も込めて,
F(x) を微分して f(x) になることを確認しておきます.
確認できたら,いま書いた計算をよく見直して,
この問題の感覚をつかんでください.
本当は,論理的に理解するのが一番なんですけどね・・・.
ものすごい丁寧な解説、ありがとうございます。
周りに頼る人もなく、教科書とにらめっこで勉強していましたので
親切に教えていただき、涙がでるほどうれしいです。
正しい計算プロセスや考え方がよくわかりました。
(2)の問題も、がんばって今日中に正しい答えを導けるよう頑張りますので、
もう少しご指導よろしくお願いします。
No.3
- 回答日時:
あってません。
No2の方へのお礼でも間違ってます。
微分して元の関数に戻るのを確認してますか?
微分してみたら違ってるのがわかると思いますよ?
部分分数分解も間違ってます。
不定積分は、微分して元に戻る関数を「見つける」感覚が強いと思いますよ。
今回の積分では必要ないはずだが、
∫dx/(1+x^2)はlog|1+x^2|ではない
∫dx/(1+x^2) = arctan(x)です。
この回答への補足
(2)の問題ですが
1/(x(x^2+1) = 1/x - x/(x^2+1) = 1/x - (1/2)*2x/(x^2+1)
= 1/x - (1/2)*(x^2+1)'/(x^2+1)より、
G(x)=log|x| - (1/2)log|x^2+1|
これで正解でしょうか? ご指導お願いします。
すみませんが今から家を出なくてはいけませんので、返信は夕方になると思います。
重ね重ね、ご指導ありがとうございます。
確かに、元に戻りませんでした。
何度も何度もすいませんでした。
(2)の問題の正解が導けるよう、もう少し頑張ってみます。
No.2
- 回答日時:
(1)の答案の途中までは,不器用ながらも許容できる範囲内ですが・・・,
最後で,それまでを完全に無にすることをしていますね.
函数 f(x) の原始函数 F(x) とは
F'(x) = f(x)
を満たす函数のことです.
つまり,微分して f(x) になる函数を言います.
f(x) を微分して得られる f'(x) は導函数と言い,原始函数とは別物です.
F(x) --微分--> f(x) --微分--> f'(x)
函数 f(x) の原始函数は?と問われたら,
何を微分すれば f(x) になるかを考えましょう.
(2)の原始函数を求めるには,普通,部分分数展開を用います.
因数分解された形で分母が書かれている理由を考えましょう.
丁寧な解説、ありがとうございます。
おかげで自分が覚え違いをしていた箇所がよくわかりました。
大変ありがとうございました。
早速、計算をし直してみました。
(1)の答えは、↓でいいでしょうか?
F'(x)=15(3x+1)^4
また(2)の答えは、
1/x(x+1) = 1/x - 1/(x+1)の部分展開より、
1/x(x^2+1) = 1/x - 1/(x^2+1) = log|x|-log|x^2+1|
であってますでしょうか?
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