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最近、統計の勉強を始めたのですが、分からない問題があります。

試験の得点xの平均をx-、標準偏差をSxとすると
変量u=(x-x-)/Sxについて、uの平均と標準偏差Suを求めよ。

答えは、uの平均が0、標準偏差が1になるようです。

ぜひ教えてください!

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A 回答 (3件)

全データの平均からの差の定数倍(今回は1/Sx倍)の平均なんだから、0に決まってるよね。



標準偏差はデータと平均の差の平方和の平方根をデータ数で割ったものなので、
平均が0なら各データの平方和をデータ数で割ればいい。

今回の問題なら、uがデータと平均の差を含んでいるので、
元データの標準偏差がuの標準偏差で出てくるから、
厳密な証明をしなくても、標準偏差が1であることはわかる。

計算で示すなら、
離散データならΣ
連続データなら∫
を頑張って計算する。
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i番目の試験の得点をx_iと表します。


得点が全部でn個なら、データはx_1, x_2, … , x_nとなります。
また、x_1 ~ x_nの平均をx_avrと置きます(x-だと、引き算の記号と間違いやすいので)。

x_avr = (x_1 + x_2 + … + x_n) / n
なので、両辺にnをかけると
nx_avr = x_1 + x_2 + … + x_n
∴ x_1 + x_2 + … + x_n = nx_avr ――― (*)
全データの総和は、(データの平均) × (データ数)になるという式ですが、
これを後で使います。

次に変量uについて考えます。
x_iの変量をu_iと置き(つまりu_i = (x_i - x_avr) / Sxとなります)、
変量の平均をu_avrと置きます。

u_1 = (x_1 - x_avr) / Sx
u_2 = (x_2 - x_avr) / Sx
……
u_n = (x_n - x_avr) / Sx

u_avrの計算式は

u_avr = (u_1 + u_2 + … + u_n) / n
ここで先ほどのu_i = (x_i - x_avr) / Sxを代入すると

u_avr
= (u_1 + u_2 + … + u_n) / n
= (x_1 + x_2 + … + x_n - nx_avr) / (nSx)
= (nx_avr - nx_avr) / (nSx)  ((*)式より、x_1 + x_2 + … + x_n = nx_avr)
= 0 / (nSx)
= 0

似たような方法で、標準偏差が1になることも示せると思います。
行き詰ったらuの形のままではなく、xに変形してみると活路が見出せるかもしれません。
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まじめに u の平均や標準偏差を計算してください.


まさか計算できないなんてことはないですよね.
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