2体系問題を扱うには換算質量(reduced mass)μを導入しますよね。相対座標と重心座標を考える上で必要なモノ、というのは分かるんですが、改めて考えるとよく分かりません。一体換算質量を導入することでどんな利点があり、どういうことを意味しているのでしょうか? よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

> 何となく天下り的発想のような気がします.



複雑なものを,互いに独立な単純なものの重ね合わせに分解しようというのですから,
自然な発想でしょう.
この思想は極めて広く使われています.
エルミート行列をユニタリ変換で対角化するなども同じような発想です.

> 換算質量には実体的な意味はないのでしょうか?

秤で直接測れるかというような意味においては,実体的意味はありません.
r1-r2 の運動に関係した物理量の測定をすれば,μ自体が質量であるように見えます.

reduced mass 呼ばれる理由は,
reduce の「減らす」,「簡単にする」,「単純な形にする」という意味から
来ているのでしょう.
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この回答へのお礼

何度もありがとうございます。おかげさまでスッキリすることが出来ました。学校の授業ではsiegmundさんのような説明が省かれていたので、ただ何となく理解したつもりになっていました。もっと積極的に学校を使ったほうがいいのだな、と自己反省しています。ありがとうございました。

お礼日時:2001/02/25 12:34

2体問題で,質点 m2 から質点 m1 へ作用する力を F(1←2) と書くことにすると,


運動方程式は
(1)   m1(r1)" = F(1←2)
(2)   m2(r2)" = F(2←1) = - F(1←2)
です." は時間の2階微分.
2体相互作用Fは r1-r2 によりますから,上の連立微分方程式は互いに絡んでいます.
つまり,(1)を積分して r1(t) を求めようとすると,
質点 m2 の位置 r2(t) がわからないといけません.

で,(1)+(2) を作ってやると,
(3)   m1(r1)" + m2(r2)" = 0
で,重心は等速直線運動をすることになります.

一方,(1)×m2 - (2)×m1 を作ると,μ=(m1+m2)/m1 m2 を使って
(4)   μ(r1-r2)" = F(r1-r2)
で,r1-r2 を r とでも思い直せば,1体問題になります.

つまり,もとの方程式のまま扱うと
互いに絡んだ連立微分方程式(1)(2)を解かないといけないのに対し,
上の様にすると,互いに独立な2本の微分方程式(3)(4)に分かれる,ということです.
どちらが解くのに楽かはいうまでもないでしょう.
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この回答へのお礼

早速の御回答どうもありがとうございます。確かに仰られるとおり運動方程式が解き易いというのがありますね。でも、何となく天下り的発想のような気がします。では、換算質量には実体的な意味はないのでしょうか? また、何故英語ではreduced massとなっていて、translated massやconverted massではないのでしょうか? これは英語のカテゴリーで質問した方がいいのかな?

お礼日時:2001/02/25 02:55

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Q換算質量について

2分子(A,B)で、重心座標X、相対座標xを以下のように書いて
X=(mAxA+mBxB)/(mA+mB)
x=xA-xB
として相対座標の運動エネルギーを求める時に換算質量μを使って、
1/2*μ(x´)^2
と書きますが、換算質量はどのように導けばよろしいのでしょうか?

基本的な質問かも知れませんが、だいぶ前に力学を勉強してかなり忘れてしまったため、解けませんでした。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1、#2でサイトや本が紹介されています。それを見てもらうとわかると思いますので蛇足かもしれません。

一度勉強したはずなのに時間が経つと分からなくなるという理由を考えてみました。一応の変形をやってみても立ち往生してしまうのです。

(1)重心座標と相対座標を使って表現を書き換えるというのはよくやられることです。一般的に可能です。
(2)換算質量で書き換えが出来るというのは2体の場合の特別なことです。
(1)(2)はどうして食い違っているのでしょうか。
使われている「相対座標」の意味が違います。同じ言葉を使っているので混乱します。
(1)では重心に対する相対座標です。
(2)では2体の片方に対する他方の相対座標です。
2つの相対座標は異なるものです。普通にやればまず(1)が出てきます。それを改めて(2)に書き直さなければいけないのです。それが分からないと式の変形が立ち往生します。

途中までやってみます。ABを使っておられますのでそのまま使います。
運動エネルギー  (1/2)mAVA^2+(1/2)mBVB^2
重心速度 V=(mAVA+mBVB)/(mA+mB)
重心に対する相対速度 vA=VA-V、vB=VB-V

mAvA+mBvB=0 が成り立っています。

これで運動エネルギーを書き換えますとvA,vB,Vの式になります。これを(式1)とします。でもこれでは換算質量は出てきません。私は何度もここで立ち往生しました。

ここで改めて一度消したはずのVA,VBに戻ることになります。

vA=mB(VA-VB)/(mA+mB)
vB=mA(VB-VA)/(mA+mB)

これで(2)の意味での相対座標が出てきました。
mAvA+mBvB=0
が成り立つことをここから導くことも出来ます。
v=VA-VBとしますと
mAvA=mAmBv/(mA+mB)
mBvB=-mAmBv/(mA+mB)
となって換算質量が出てきます。
(式1)にここのvA,vBを代入して整理すると求める式が出てきます。
運動エネルギーは 
(1)の場合
   (重心の運動エネルギー)+(重心に対する相対座標で考えたAの運動エネルギー)+(重心に対する相対座標で考えたBの運動エネルギー)
(2)の場合
(重心の運動エネルギー)+(AのBに対する相対座標とABの換算質量で考えた運動エネルギー)

ABCと3つになっても(1)は書くことが出来ます。
ここから(2)に変形してもVA-VB,VB-VC,VC-VAの2つの相対速度が出てきますから簡単な形にはならないと思います。

 

#1、#2でサイトや本が紹介されています。それを見てもらうとわかると思いますので蛇足かもしれません。

一度勉強したはずなのに時間が経つと分からなくなるという理由を考えてみました。一応の変形をやってみても立ち往生してしまうのです。

(1)重心座標と相対座標を使って表現を書き換えるというのはよくやられることです。一般的に可能です。
(2)換算質量で書き換えが出来るというのは2体の場合の特別なことです。
(1)(2)はどうして食い違っているのでしょうか。
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Q分配関数(状態和)がわかりません。

統計力学とかで出てくる分配関数(状態和)がありますが、物理的な意味がよくわかってません。
Σexp(-β・ei)とありますがどういう意味なんでしょうか?

またある問題でエネルギー準位ε=(n+1/2)hνのN個の独立な調和振動系子の系があり
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Z=1/{2sinh(hν/2kB・T)}
となることを示せという問題があるんですが問題の意味すらよくわかりません。
一個に対する状態和?という感じです。
どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというように表すことが出来ますね。
このときの状態和は
 Z=ΣP(x)
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  =6*1/6
  =1
ということになります。

>速度やモーメントならしっくりきますが状態というのは一体何なんでしょうか?
さいころで言うと状態は「1の目が出ること」などに対応します。
この場合は6つの状態を取り得ますね。

>一個に対する状態和?
粒子が一個であっても e_n =(n+1/2)hν という結果を見れば、
基底状態 e_0 = hν/2 の状態にあるかもしれないし、
励起状態の1つ e_1 = (1+1/2)hν = 3/2*hν のエネルギー状態にあるかもしれない、
というようにとり得る状態は1つではないことがわかります。
あとは、先のさいころの例と同様に
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e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
ですからこれらの確率の無限和をとるだけです。


この質問とは関係ないですが、
その後、相対論の理解は進みましたか?

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

Q換算質量について

両端固定してバネ定数k1、k2のバネを、質量m1,m2の質点をはさんで振動させるという一番よくみかける問題なんですが、これの換算質量の求め方がわからず、立ち止まってしまいました。
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KENZOUさんも書かれていますが、換算質量を求めるのは通常閉じた系のばあいです。その場合は重心座標と相対座標を導入すると運動量保存のため重心座標は等速直線運動になり、相対座標については換算質量を持つ質点の1体問題に帰着されます。バネが固定されている時、固定点から力を受けるため、閉じた系ではなく、運動量は保存されません(エネルギーは保存される)。ポテンシャルエネルギーが相対座標だけでは表わせないため、1体問題に帰着されず換算質量を求める利点はありません。それよりこのような問題では基準振動のモードに分解することが重要です。モードというのは「基本的な運動の様式」のことで一般の解はそれの重ねあわせとして理解されます。簡単のため、三つのバネ定数が等しいとすれば、真ん中のバネが伸び縮みせずに二つの質点が平行して動くような解があるでしょう(重心座標の単振動)。もう一つは重心座標が一定で、二つの質点がその周りに振動するような解があるでしょう。この二つが基準振動です。振動を基準振動に分解することについてはランダウ・リフシッツ「力学」に詳しく説明されています。ただしこの本は難解です。私が昔読んだ時にはさっぱり理解できませんでした。

KENZOUさんも書かれていますが、換算質量を求めるのは通常閉じた系のばあいです。その場合は重心座標と相対座標を導入すると運動量保存のため重心座標は等速直線運動になり、相対座標については換算質量を持つ質点の1体問題に帰着されます。バネが固定されている時、固定点から力を受けるため、閉じた系ではなく、運動量は保存されません(エネルギーは保存される)。ポテンシャルエネルギーが相対座標だけでは表わせないため、1体問題に帰着されず換算質量を求める利点はありません。それよりこのような問題では...続きを読む

Q根平均二乗速度と平均速度

物理化学のカテゴリがなかったのでこちらで失礼します。物理化学で気体の性質をいま勉強しています。そこで、分子の平均速度と根平均二乗速度の違いを述べよ、という問題が出ました。しかし根平均二乗速度は、平均の早さに極めて近いということ以外わかりません。根平均二乗速度の定義はどのようなものなのでしょうか。そもそも根平均二乗速度という言葉自体がわかりません。
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初心者ということですが、
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で与えられるというのはいいですか?
よくなかったら教科書を読み直して下さい。
ただし、f(v)は速度の分布関数で、通常はボルツマン分布f(v)=定数*exp(-E/kT)、E=mv^2/2

要するに速度の平均<v>は右にいく分子と左にいく分子がほぼ同数あるので、<v>~0になる。
★つまり速度には+-があるので、全部平均するとゼロになってしまうのです。

いや、どのくらい速く分子が知りたいという場合は、
速度の絶対値をとって平均してやるか、またはVの2乗をとって平均してやればよい。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
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