ちょっと変わったマニアな作品が集結

コイルばねを天井から吊るしてあるとします。
このばねをねじって回転させたときに発生する慣性モーメントの求め方を教えてください。

コイルばねは、コイルの平均径がD=17.9mm 線材直径がd=1.6mm 質量m=59.3g 有効巻数N=64 長さL=104.8mm 
となっています。

できれば詳しく説明いただければ幸いです。よろしくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

慣性モーメントIの定義は,密度ρ,軸からの距離rとして


体積積分 I = ∫ρr^2dV
となりますので,ばねの伸び方向の中心軸まわりの慣性モーメントは
I=m(D/2)^2=59.3×10^-3×(17.9/2×10^-3)^2[kgm^2]
でよいと思います。ただし,ばねはねじれ回転によって長さとともに
径も変わると思いますのでそれを考慮するような精度を要するならば
ちょっと難しくなりそうです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
おかげで助かりました。

お礼日時:2008/11/12 01:40

補足です。

ばね全体の慣性モーメントは直接にはねじれ回転には
役に立ちませんね。支点からの距離に比例して角変位,角速度が
変化しますから,運動を解析するためには微小長さの慣性モーメ
ントごとの運動方程式を立てることになるでしょう。下端の角変位
に対する運動方程式はそれらをまとめて得られると思います。
そのとき,下端の角変位に対する「実効慣性モーメント」とでも
呼ぶべきものが得られるのではないでしょうか?
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Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

Q振り子の慣性モーメントの求め方

鉄の棒の先に立方体の重りを付けた、振り子の慣性モーメントを求めたいのですが、振り子全体の慣性モーメントの求め方と、鉄の棒と重りのそれぞれの慣性モーメントの求め方を教えてください。よろしくお願いします。

鉄の棒(長さL=275mm、質量m1=42.2g)と立方体(一辺の長さa=30mm、質量m2=226.2g)は以上のようになっています。
できれば詳しく教えていただけたら幸いです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性モーメントだと思うので、積分によって求めた、鉄の棒と立方体の重心周りの慣性モーメントを用いて、運動エネルギーを出します。

平面上の振り子運動だと思うので、
角度をθ、重心までの距離をr1,r2などと置いて、それぞれの重心のx座標、y座標をr、θで表します。
速度v1,v2を微分によって求めます。

ここで、運動エネルギーは、並進の運動エネルギーと回転の運動エネルギーの和なので、
E = 1/2 mv^2 + 1/2 Iω^2 (*)
の形であらわされます。

これを用いて、振り子の運動エネルギーを出して、この運動エネルギーを
E=1/2 Iω^2の回転のみのエネルギーとした時の、Iにあたる量が振り子の慣性モーメントです。
(振り子の回転中心は動かないので上記の形にかけます)
(鉄の棒と立方体は重心中心の慣性モーメントなので、重心が動くので(*)の形でかけます)

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性...続きを読む

Q回転体の運動方程式の問題がわかりません

この問題がわかりませんどうかご教授お願いします。

問題
 長さ2L[m],質量M[kg]の剛体棒が点oにおいて等しい中心角で連結され、それぞれの剛体棒には点oから長さ2L[m]の位置に質量M[kg]の質点が取り付けられている。この回転軸に、回転角度θ[rad]に比例した復元トルクを発生させる回転ばね(ばね係数k[Nm/rad]をとりつけ、ある初期角度を与えて静かにはなしたところ、回転体は点oのまわりに回転運動した。運動中の回転体の運動方程式を示しなさい。

Aベストアンサー

こんばんは。

これは「棒の捩り振動」ですね。なので、まず、慣性モーメントを I とすると、運動方程式は、時間微分を「’」で表して、モーメントの釣り合いから、
I・θ”+k・θ=0
となるのは了解されていることと思います。問題はIをMとLとで表せということですよね。
それで、慣性モーメントの定義や計算方法・公式、更に平行軸の定理などについては、
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node18.html
あたりを参照してください。

中心まわりの慣性モーメントは、
(1)棒の先の質点Mについては、1個あたり、M(2L)^2=4ML^2
(2)棒自体については、棒は均一で、重心が棒の中央(Lの位置)にあると仮定できるでしょうから、
中心まわりの慣性モーメントは、Io+ML^2 
更にIoは棒の重心まわりの慣性モーメントであり、
(3)Io=(1/3)ML^2
となりますから、これらを合計して、腕1本につき、(16/3)ML^2 と計算されます。
ゆえ、全体の(中心軸まわりの)慣性モーメント;I=16ML^2
ですね。これを上記の運動方程式に代入すれば、OKです。

こんばんは。

これは「棒の捩り振動」ですね。なので、まず、慣性モーメントを I とすると、運動方程式は、時間微分を「’」で表して、モーメントの釣り合いから、
I・θ”+k・θ=0
となるのは了解されていることと思います。問題はIをMとLとで表せということですよね。
それで、慣性モーメントの定義や計算方法・公式、更に平行軸の定理などについては、
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/moi/node18.html
あたりを参照してください。

中心まわりの慣性モーメントは、
(1)棒の先の質点Mについては、1...続きを読む

Qボルダの振り子 慣性モーメント

ボルダの振り子で、金属球の質量をm、半径をa、
ナイフエッジから金属球までの長さをlとするとき、
支点回りの慣性モーメントIが
I=2ma^2/5+m(l+a)^2
となるのがわかりません。
この式の導き方を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)+mh^2=2/5ma^2+m(a+l)^2になるのです。

平衡軸の定理については、定理ということでそのまま
用いて構いません。式の導出が厄介だからこそ、定理として造られているのです。定理の導出まで知りたければ、力学の教科書をみれば分かります。

球の慣性モーメントについても、導出はけっこうやっかいです。球の重心の周りの慣性モーメント
がI(G)=2/5ma^2です。この導出も知りたければ、力学の教科書を見た方が速いです。もしここに書き込むと
かなりゴチャゴチャします。

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)+mh^2=2/5ma^2+m...続きを読む

QNをPaに単位換算できるのか?

大変困ってます。
皆さんのお力をお貸しください。

加重単位Nを圧力単位Paに変換できるのでしょうか?
もし出来るとしたらやり方を教えてください。
具体的には30Nは何Paかということです。
変換の過程も教えていただければ幸いです。

是非、ご回答、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 No.1さんがおおまかに答えておられますが、補足します。
 N(ニュートン)は力の単位です。対して、Pa(パスカル)は圧力の単位です。これらは次元が違うので、単独では変換はできません。
「30 Nは何Paか」
というのはナンセンスです。
 NとPaの関係は、
Pa = N/m^2
です。質問が、
「30 NをPaを使って表せ」
というのならば、
30 N = 30 Pa・m^2
となります。m^2(平方メートル)という単位が必要になります。物理量の間の関係、
圧力 = 力/面積
および、単位の間の関係
Pa = N/m^2
を整理して覚えてください。

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Qモーターのトルクと回転数

なぜモーターのトルクと回転数は反比例の関係になるのですか?

Aベストアンサー

質問中には書かれていませんが、モーターの出力が一定のもとで
ということが必須の条件です。

モータ理論の基礎中の基礎で 出力(W)=角速度×トルク
すなわち
P=ωτ  但しP:出力 ω:角速度(2π×回転数/60) τ:トルク

出力が一定であればモータ速度とトルクは相反関係にあります。
尚通常のモータにおいては、出力が一定ということはまずありませんので
負荷トルクの変動に比例して出力(=一般てきには入力電流)が変動
します。

Qダッシュポット 並列

こんばんわ。いきなりですが教えて下さい。

弾性(バネ定数)をもつバネとかは、並列だとk1+k2とかですよね。直列だとk1k2/k1+k2でしたかね・・・?

これって粘性(ダッシュポット)とかでも当てはまるんですかね??並列はc1+c2とか。バネと同様に足したり、引いたりできるのですか?またそのメカニズムは・・・?

減衰に関して詳しい方ぜひぜひ教えて下さい、お願いします。

Aベストアンサー

 
 
1.
>> そのメカニズムは・・・? <<

 普通ダッシュポットは、流体中で物を動かすときの抵抗が流速に比例する範囲を使っています。手抜きですみませんが下記を;ここで言ってる「流体の分子が固体表面の分子や結晶原子に次々と衝突して運動量を持ち去ってしまう」ことがミクロなメカニズムです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://www.airpot.com/beta/images/dash_160.jpg
 なお、電車やクルマの電磁ブレーキは 発電の電圧が磁界と速度の積なので ダッシュポットの一種です。(低速では効かない。)



2.並列の場合;
(上記URLの説明を流用して)並列にすると擦れる面積が 数の分増えるから それの足し算ですね。



3.直列の場合;

   ┏━━┓     ┏━━┓
   ┃ ┃ ┃     ┃ ┃ ┃
 Z ┫ ┣━━ B━━━┫ ┣ A
   ┃ ┃ ┃     ┃ ┃ ┃
   ┗━━┛     ┗━━┛

 Zを固定してAを引っ張る。
左のpotでBが受ける力 F1(左向き)は、Bの速度を 未知数 Vb とすると
  F1 = k1・Vb  kはpotの性能係数

右のpotでBが受ける力 F2(右向き)は、AとBの速度差に比例するから
  F2 = k2・(Va-Vb)

で、もし両者が不釣り合いなら、下図で分かるように、釣り合い点に向かう力になる。

 力F
   |
   |
   |\      F2=k2Vb 左向き
  │ \   /
  │   \/
  │   /\
  │ /   \ F1=k1(Va-Vb) 右向き
   |/      \
  0 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄Vb

F1=F2 の状態でのBの速度が求まり、
  Vb = Va・ k1/(k1+k2)
これをF2の式に入れて、
  F2 = Va・k1k2/(k1+k2)
となり、並列の式が求まった。



 余談;
直列接続で; 両端の力はなぜ F1+F2 にならないのか?という疑問があったら、この問題とは別個の頭の体操です。いま、力自慢のAさんが図のように車両2台を左右の腕で引き寄せています。
   クルマ───Aさん───クルマ
しかし、あとほんの少し力が欲しいので、Aさんの子どもを、
   クルマ───Aさん──3歳児───クルマ
親子そろって全力を出すと両端の力は F1+F2 でしょうか。と言うよりもAさんは全力を出せますか?
 
 

 
 
1.
>> そのメカニズムは・・・? <<

 普通ダッシュポットは、流体中で物を動かすときの抵抗が流速に比例する範囲を使っています。手抜きですみませんが下記を;ここで言ってる「流体の分子が固体表面の分子や結晶原子に次々と衝突して運動量を持ち去ってしまう」ことがミクロなメカニズムです。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=908588
http://www.airpot.com/beta/images/dash_160.jpg
 なお、電車やクルマの電磁ブレーキは 発電の電圧が磁界と速度の積なので ダッシュポットの一...続きを読む

Qこの周波数はいくつ?

ある物体に60rpmのカムで加振させている場合、
物体の周波数は何Hzになるのでしょうか?

Aベストアンサー

RPM = Revolution Per Minute
ですから、1分間の回転数という意味ですね。対して、
Hz :1秒間の振動数(回転数)
ということで、RPMからHzへの換算式は

(RPM) / 60 = (Hz)

です。
ANo.1 の方の答えと一致しますよね。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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