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立方体ABCD-EFGHとおくとき、A-C間の合成抵抗を求めよ、って問題です。全体を流れる電流はIでAから入りCからでるとします。全体の電圧をVとし、1辺をRΩとします。

わかりやすく教えてください。お願いします。

A 回答 (1件)

一般的な解法としては回路方程式を立てて線形連立方程式を解くことになりますが、この問題は対称性を利用して比較的簡単に求まりそうです。



1)立方体の平面表現
立方体の稜線を2次元に展開するため先ず大きなひし形を一つ書き、その内側に小さいひし形を書きます。外側のひし形の頂点を上から左回りにABCD、同様に内側をEFGHとし、AとE、BとF、CとG、DとHをそれぞれ線でつなぎます。これで12本の稜線(抵抗R)の接続関係が平面的に表現できました。最上部の点がA,最下部の点がCとなります。

2)対称性を利用した合成抵抗計算
上記の平面表現は上下が線対称となり、中央部BFHD各点の電位はA-C間の電位の中点ですべて同電位となり、これらの各点の相互間には電流が流れないため水平方向の線(抵抗)B-F,H-Dは除去しても回路各部の電流には変化がありません。(除去のかわりに短絡しても結果は同じですがここでは除去で考えます)
ここで内側のひし形のE-G間の抵抗は2Rと2Rの並列でRとなりますので内側のA-E-G-Cの経路の抵抗は3Rとなります。一方外側のひし形のA-C間の抵抗はE-Gと同じくRとなりますのでこれと内側経路の3Rの並列接続により合成抵抗が下記のように求められます。

合成抵抗=1/{1/R+1/(3R)}=3R/4
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この回答へのお礼

わかりやすく教えていただきありがとうございました。おかげで理解できました!

お礼日時:2008/11/19 16:35

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