藤川和男著 「ゲージ場の理論」に関する質問

藤川和男著の「ゲージ場の理論」についてわからないところがあるので教えてください。

Yang-Mills場の分配関数は、（3.48)式で与えられていて

Z=exp^(S_i)exp^(S_f) 、

相互作用部分(S_i)はゲージ場、フェルミオン場、ゴースト場のソースの微分で
与えられている。微分される側のフリー部分は(S_f)は（3.50)式で与えられてい
てゲージ場、フェルミオン場、ゴースト場それぞれのプロパゲータ×対応する
ソースの 二乗の項＋ゲージ場とB場のプロパゲータ(mixingプロパゲータ)×ゲージ場、
B場のソースという形になる。

わからないのは図４－３のゲージ場の自己エネルギー（２点関数）の１ループグラフで、
二つある内線のそれぞれが「mixingプロパゲータ×mixingプロパゲータ）」の形をして
いるが、このファインマングラフが上の分配関数から出てくる理由がわからない。

相互作用部分（S_i）はB場のソースの微分を含んでいないのになんでこんなグラフが出るのでしょう？

No.4 回答者： grothendieck 回答日時： 2008/12/21 19:41

ファインマンダイアグラムは運動量表示を使っています。

頂点を見ているとつい時空のある点で相互作用が起こっているように思いがちですが、一定の運動量を持ったプロパゲータや外線や外場の可能な組み合わせ(かつ頂点では運動量が保存される)を表しているのです。
δ/δJaμ(x) を(3.50)に作用させると
　∫Dab(x-y)μ JBb(y) dy
が出てきます。運動量表示に移るとこれは
　∫dp exp(ipx) Dab(p)μ JBb(p)
に等しくなります。∫LI dx の中には
　 ∫dx (δ/δJaμ(x))(δ/δJbν(x) )
のようなものが含まれているので
　∫dx dp dq exp(i(p+q)x) Dac(p)μ JBc(p) Dbd(q)ν JBd(q)
　= ∫dp Dac(p)μ JBc(p) Dbd(-p)ν JBd(-p)
となってDac(p)μ と Dbd(-p)ν　のつなぎ目でＢの外場も入って運動量が保存するようになっているのです。

この回答へのお礼

相互作用部分がゲージ場のソースの汎関数微分の２次であればご回答
いただいた計算になると思います。ゲージ場のバーテックスの運動量
保存のことをおっしゃられてるように思えますが少し私の理解が足りなくてよくわかっていません。もう一度考えてみます。

たびたびの質問にていねいなご回答いただきありがとうございました。

お礼日時：2008/12/22 20:11

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2008/11/26 23:49

Jaμの汎関数微分があるので

Dab(x-y)μ JBb(y)
が出てくるのは確かだと思います。もう1回Jdμで汎関数微分したものと合わせると
Dab(x-y)μ JBb(y) JBc(y)Dcd(x'-y)μ
のようなものになると思います。
これは何を表しているかというと「外場JBb(y)によるＢの散乱」です。図4.3でBの線上に点があってＢＢと書いてあるところが外場JBbが作用している点だと思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

フリー部分exp^(S_f) をテーラー展開すると
(i)^2(∬dxdy Jaμ(x)Dab(x-y)μJBb(y))×
　　　(∬dzdw JBc(z)Ddc(w-z)νJdν(w))×他のソースを含む項
のような項がでてきて、ご回答いただいたようにソースＪをあらわに書いた部分をJaμ(x1),Jdν(x2)で汎関数微分すると
（ここでx1,x2はゲージ場の二つある３点バーテックスのそれぞれに対応する座標）
(-1)^2∬dydz Dab(x1-y)μJBb(y)JBc(z)Ddc(x2-z)ν×...
となります。JBb,JBcの引数はそれぞれy,zと一般に異なっており、
もしご回答にありましたようにＢの線上の点（ＢＢと書いてあると
ころ）がＢ場のソースをあらわすならば、グラフは図４－３のように
はならず、x1から出たプロパゲータがyにあるソースにつながり、
x2から出たプロパゲータがzにある別のソースにつながるように
なると思うのですがいかがでしょうか。

何度もお尋ねして申し訳ありません。

お礼日時：2008/11/27 21:24

No.2 回答者： grothendieck 回答日時： 2008/11/24 20:32

(3.50)でゲージ場とＢ場の伝播関数Dabμとソースを含む

　Jaμ(x) Dab(x-y)μ JBb(y)
が出てきています(添え字Fは省略)。これをJaμで汎関数微分するとDab(x-y)μが出てくるのではないでしょうか（図3-1の中央最下段の図形）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。おっしゃるとおり
Jaμ(x) Dab(x-y)μ JBb(y)をJaμ(x)とJBb(y)で汎関数微分すれば
確かに<T*Aμ^a(x)B^b(y)>=iDab(x-y)μ
((3.51)の２番目の式、ご指摘の図3-1の中央最下段の図形）
になると思います。

しかしながら図４－３のグラフは、Ｂ場の”２点”バーテックス
を含んでいるので相互作用部分(S_i)にＢ場のソース
JBbの汎関数微分、たとえば(δ/δJBb)^2のような項がない
と出てこないグラフではないでしょうか？

お礼日時：2008/11/25 23:07

No.1 回答者： doc_sunday 回答日時： 2008/11/09 12:15

藤川先生に直接メールして尋ねても構わないのですよ。

この回答へのお礼

アドバイスいただきありがとうございます。
もし簡単な見落とし等であればご指摘いた
だければ嬉しいです。

お礼日時：2008/11/09 18:36