すべてのヒルベルト空間Hは、正規直交基をもつ？

前回の質問と同じなのですが、
投稿文が長くなるので、再度書きました
ある参考書に書いてあったのですが、

〔定理〕
すべてのヒルベルト空間Hは、正規直交基をもつ

《証明》
Ｖで正規直交系Ｅを考える
包含によってＥを考える；（つまり、Ｓ_1⊂Ｓ_2ならば、Ｓ_1＜Ｓ_2と言う）
＜のこの定義で、Ｅは半順序である；ｖがＶの元であるから、空でない
そして、集合がｖ/∥ｖ∥だけから成り、正規直交系です

いま、｛Ｓ_α｝_α∈Ａ　をＥの線形順序部分集合であるとする。
それから、∪_α∈Ａ Ｓ_α は、正規直交系です；
それぞれのＳ_αを含んで、｛Ｓ_α｝_α∈Ａのための上界である

Ｅの線形順序部分集合が上界を持つことから、ツォルンの補題を用いて、
Ｅには極大元があると結論することができる。；
つまり正規直交系は、他のもので真に正規直交系を含まない


よく分からないところがあります
２行目　包含によって・・・　　　　証明済み
４行目　ｖ/∥ｖ∥だけから成り　　この部分がよく分かりません
５～７行目　？？？
８～10行目　８割以上理解済み

現在このような感じです。
どなたか力を貸してくれると幸いです。
つたない文章ですが、よろしくおねがいします。

No.4 ベストアンサー 回答者： graphaffine 回答日時： 2008/11/14 02:09

>Ｖ；ベクトル空間

>Ｅ；正規直交系を部分集合として含む、Ｈにおける正規直交系の全体

これは原文に書いてあったものですか。
問題のヒルベルト空間（当然ベクトル空間）はHですが、このHとVはどう関係してるのでしょうか。いきなり意味不明なVが出てきて疑問に思わないのでしょうか。Eについてはまるっきり意味不明です。自分で意味をきちんと捉えようとしていますか。

>Ｅは半順序である
本当に原文でこうなっていますか。半順序集合の間違いではないの？
それとも、その区別が分からない？

No.3 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/11/13 00:21

>ツォルンの補題

> 順序集合Ａのすべての線形順序部分集合に上界が存在すれば、Ａには極大元が存在する
>
> だと認識しているのですが・・・

んで、今の問題で考えている順序集合Ａが何かを補足どうぞ。

No.2 回答者： graphaffine 回答日時： 2008/11/12 23:51

xyz0122さん、今晩は。

また、お会いしましたね。前の質問のとき言ったように、一般の計量ベクトル空間でも成り立ちそうですね。

で、証明ですが翻訳文（ですよね）は何じゃこりゃの状態です。xyz0122さんが訳したのでしょうか。まず、原文を確認してV及びEが何者であるかを明確にしてください。全てはそれからです。

この回答への補足

Ｖ；ベクトル空間
Ｅ；正規直交系を部分集合として含む、Ｈにおける正規直交系の全体

めちゃくちゃな文章ですみませんでした。
ヒルベルト空間の中で、今はベクトル空間で考えているようです。

補足日時：2008/11/13 00:41

この回答へのお礼

すみません、ずっとネット環境が無い所にいたもので・・・
上の問題、大変でしたが解決できました。
ありがとうございました！！

お礼日時：2008/11/23 22:24

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/11/11 23:45

ツォルンの補題がわかっているのかどうかを補足にどうぞ。

この回答への補足

ツォルンの補題
順序集合Ａのすべての線形順序部分集合に上界が存在すれば、Ａには極大元が存在する

だと認識しているのですが・・・

補足日時：2008/11/12 21:10

この回答へのお礼

すみません、ずっとネット環境が無い所にいたもので・・・
上の問題、大変でしたが解決できました。
ありがとうございました！！

お礼日時：2008/11/23 22:23