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放物線y^2=4px(pは0でない)の弦PQの両端と頂点Oを通る線分PO、QPが直交するならば、弦PQは定点を通ることを証明し、その定点を求めなさいという問題があるのですが、どうやってといたらいいかも思いつきません。
定点を(a,b)とおくのは無理ですよね。。。P、Qのy座標をそれぞれa、bとおきPQやPO、QOの方程式をもとめて・・・という方法もやってみたのですがわかりません。。。
誰か教えてください><

A 回答 (5件)

P(pα^2、2pα)、Q(pβ^2、2pβ) (α≠β)とする。

α≠0、β≠0.
直線OPはy=(2/α)*x、直線OQはy=(2/β)*xであるから、条件よりαβ=-4. ‥‥(1)
直線PQは (α+β)y=2(x-pα^2)+2pαであるから、これに(1)を代入してβを消すと、yα^2+2(4p-x)α-4y=0.
これが任意のαについて成立するから、y=0、4p-x=0.
従って、定点は(4p、0)。
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この回答へのお礼

aについての恒等式をつくればよかったんですね!
わかりやすい説明ありがとうございました。

お礼日時:2008/11/14 21:58

補足します。



質問の問題の
>弦PQの両端と頂点Oを通る線分PO、QPが直交するならば
「線分PO、QPが直交するならば」、弦PQは定点を通りません。

問題を以下のように「QをOに訂正」すれば
「線分PO、OPが直交するならば」
#2,#4さんの回答の定点(4p,0)を弦PQが通るようになります。

多分、質問者さんの問題の写し間違いでしょう。
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> (a+b)y=4px-16p^2


それでほとんど終わっていますよ。
y=0、4px-16p^2=0のとき、その式はa+bの値にかかわらず成立しますから、それを解いた(x,y)=(4p,0)は必ず通る点ということになります。
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この回答へのお礼

なるほど。
式をどう見るかが大切だったんですね。
ありがとうございました!

お礼日時:2008/11/14 22:00

書き込みミスの訂正。



(誤) 直線PQは (α+β)y=2(x-pα^2)+2pα

(正) 直線PQは (α+β)y=2(x-pα^2)+2pα(α+β)

ついでに、
放物線上の点を P(pα^2、2pα)、Q(pβ^2、2pβ) と置くのは既に常識の部類に入るだろう。

覚えておくと便利。
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> P、Qのy座標をそれぞれa、bとおきPQやPO、QOの方程式をもとめて


直行するので、POの傾きとQOの傾きを掛け合わせると-1というのを利用して解けないでしょうか。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
わたしもそこまではやってみたのです。そうすると(a+b)y=4px-16p^2というところまではでます。でもそこからどうしていいかわかりません。

補足日時:2008/11/14 18:11
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