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糸を鉛直にして手を離すとき、ヨーヨーの落下する加速度aと糸の張力T、
また糸が伸びきってから巻き上がる時の加速度と張力を求めたい。

(ただしヨーヨーは質量M、中心の周りの慣性モーメントI、糸の巻きつく部分は半径r。)

まず、鉛直下方にx軸を取ると
Ma=Mg-T
回転角をθとすると、
v=rω (v=rθ´)
重心の周りの角運動量は Iω (Iθ´)

ここまでは分かったのですが、ほかにどのような条件を混ぜてa、Tを求めてよいか分かりません。
ちなみに答えは
a=g/(1+I/Mr^2)
T=gMI/(I+Mr^2)
になります。

また、落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか?

どなたか解説をよろしくお願いします。

A 回答 (4件)

#1,2ですが,補足に対する回答です.



並進運動:Ma=Mg-T ・・・(1)
回転運動:Idω/dt(=Id^2θ/dt^2)=T・r ・・・(2)
拘束条件:v=rω ⇒ a=rdω/dt ・・・(3)

(3)を(1)に代入,さらに両辺r倍して
Mr^2dω/dt=Mgr-Tr ・・・(4)
(4)+(2)より
(Mr^2+I)dω/dt=Mgr
⇔dω/dt=Mgr/(Mr^2+I) ・・・(5)
r倍して(3)より
a=Mgr^2/(Mr^2+I)=g/(1+I/Mr^2)
これと(1)より
T=Mg-Ma
 =Mg(1-a/g)
 =Mg{1-1/(1+I/Mr^2)}
 =MgI/(Mr^2+I)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。

詳しい回答で分かりやすかったです。
式の変形に工夫を感じるのですが、やっぱり慣れでしょうか…。
自分でも計算してみたところ、ちゃんと答えが出ました。
式の変形をもう少し練習したいと思います。

何度も補足をしてもらい、申し訳ありませんでした。
ありがとうございました。

お礼日時:2003/01/22 20:59

oshiete_gooさんのように運動方程式でも解けますが


エネルギーの形式からでも解けます。
位置エネルギーが全部運動エネルギーに変換されるとすると
運動エネルギー=位置エネルギー
という式を立てればいいことが分かります。

運動エネルギー=回転のエネルギー+並進運動のエネルギー
(1/2)Iω^2+(1/2)M(rω)^2

位置エネルギー=重力×距離
Mg∫(rdθ/dt)dt = Mgr∫ωdt

なので、あとは両辺をtで微分すると解が得られます
((d/dt)∫ωdt=ωに注意 )。

こう考えると何が良いかというと、まずTが含まれない。
次にちょっとした解釈もできます。
運動エネルギー=(1/2)Iω^2+(1/2)M(rω)^2
=(1/2)(I/r^2+M)v^2
となって、重心の運動(重心の速さv)から見ると
(I/r^2+M)があたかも質量のように見えるということです。
M'=(I/r^2+M)
と置くと
(1/2)M'v^2=M'{Mg/(I/r^2+M)}h
となって(hは重心の高さ)新しい重力加速度g'は
g'=g{M/(I/r^2+M)} (つまり、答えの加速度)
です。あとは、自由落下の式と同じで、
最下点でちょうど床に当たって跳ね返るのと同じように
同じ加速度で運動します。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい、申し訳ありません。

エネルギーを使った解き方は考えてはいたのですが、途中までしか分からず挫折していました。
ひとつの見方ではなく、いろいろな方法で問題が解けると嬉しいです。

>重心の運動(重心の速さv)から見ると
(I/r^2+M)があたかも質量のように見えるということです。

なるほど。このような考え方もできるのですねぇ。
g'=g{M/(I/r^2+M)} (つまり、答えの加速度) に納得です。

ありがとうございました。

お礼日時:2003/01/22 20:56

#1です.


失礼しました.間抜けなことに,ご質問の答の肝心の式
Idω/dt(=Id^2θ/dt^2)=T・r
がありませんでした.
角運動量の時間変化率=糸の張力によるモーメント
です.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

教えていただいた式の意味は良く分かったのですが、どうしても答えがでません。
似たような答えにはなるのですが。
もし良かったら式の変形を教えてください。

>放物運動の時と同じではありませんか.(速度に依存しない外力による加速度運動なので.)

なるほど。放物運動ですか…。
なんとなく違う答えになるような気がしたのですが、勘違いですね;

補足をよろしくお願いします。

お礼日時:2003/01/21 09:14

糸の上端が固定されているとすると


「ほどける(または巻き付く)糸の長さ=ヨーヨーの重心(中心)の移動距離」
という拘束条件(束縛条件)があるので,
時間微分して,速度についても加速度についても同様の関係が言えて,
重心加速度aと角加速度 θ''=d^2θ/dt^2 について
 a=rθ''
が成立します.

>落下と上昇ともに答えが同じになるのはなぜなのでしょうか?
放物運動の時と同じではありませんか.(速度に依存しない外力による加速度運動なので.)
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中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
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になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
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次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q球の慣性モーメントについて

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

「球(質量M、半径R)の1つの直径周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題を解いてみて解答を見ると
球の密度をρ=M/(4/3)πR^3とする。球の中心から高さzからz+dzの間にある厚さdzの円盤の質量はρπ(R^2-z^2)dz
よって慣性モーメントはi=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)
これを積分してI=∫idz=(2/5)MR^2
(積分区間は-R≦z≦R)

となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径rよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は1よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は1/2よりも小さくなります。2/5<1/2ですね。3/5とか4/5が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式 力=質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント=慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力=質量×加速度 の両辺に回転半径rをかけたあと
加速度=半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
(rの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。)

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が...続きを読む

Qエントロピー変化の計算

完全気体の圧力がPiからPfまで等温変化するときのエントロピー変化を計算せよ、という問題があります。しかしどのように計算すれば良いのか分かりません。この答えはΔS=nR*ln(Pi/Pf)だそうです。

以下は自分の考えです。
dS=dq/T と表されるのでΔS=∫(dq/T)=q/T (積分範囲はi→f)となり、熱を求めようと思いました。
等温変化なのでΔU(内部エネルギー変化)=q+w=0 (q:熱 w:仕事)が成り立ち、q=-wとなり、仕事を求めばいいと思うのですがどのようにwを求めていいのか分かりません。圧力一定で、体積が変化する場合なら求められるのですが・・・。

どなたかお分かりになる方、教えていただければ幸いです。

Aベストアンサー

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
d(pV)=d(nRT)⇔pdV+Vdp=nRdT(nもRも定数だからです)
そして今dT=0より、結局pdV=-Vdp 状態方程式でVをpであらわし
よって、∫dS=∫pdV/T=∫-Vdp/T=∫-(nR/p)dp
=-nR[logp](p=pi~pf)
=nRlog(pi/pf)

余談ですけど、なぜ可逆過程なのにエントロピー変化があるのかというと、ひとつは、断熱系と混同しがちだからです。dS≧dQ/Tというのが、一番基本的なものなのです。断熱系dQ=0の場合のみdS≧0となりエントロピー増大則になります。また
等温変化の可逆過程では、dS=dQ/Tと、=になりましたけど、
これを高熱源や低熱源を含めた全体の系に適用すると、全てを含めた全体は断熱系になっているから、
dQ=0より、エントロピー変化はありません。
質問の場合なら、一見エントロピーはΔS=nR*ln(Pi/Pf)
と増加しているようですが(膨張を過程),それは気体のエントロピーのみ考えているからであり、
完全気体が高熱源から準静的に熱量Qをもらっている
はずで、逆に言うと高熱源は熱量Qを失っています。
だから、高熱源はエントロピーQ/Tだけ失っているから
完全気体と高熱源をあわせた系のエントロピー変化は
-Q/T+nR*ln(Pi/Pf)=0となって、結局全体で考えれば
エントロピー変化はありません。カルノーサイクル
の例も一応挙げとくと、
高熱源のエントロピー変化量:-Q/T1
低熱源〃:(Q-W)/T2
ですけど、カルノーサイクルの効率は1-(T2/T1)より
W=Q(1-T2/T1)∴低熱源:Q/T1となって、高熱源と低熱源
をあわせた系全体のエントロピーの変化はありません。

なんだか、質問も回答もいまひとつ混乱しているようなので強いて補足させてもらうと、
まず熱力学第一法則というのはdQ=dU+pdV
これは、系(気体)に加えられた微小熱量dQが、
系の内部エネルギーの微小変化量dUと、系が行った
微小仕事pdVの和になるということです。

それで、今は等温変化だから、理想気体ではdU=0
よって、dQ=pdV
そして、可逆過程ではdS=dQ/T
よって、系のエントロピー変化の"総量"は
∫dS=∫pdV/T=∫p/TdV また、pV=nRTより両辺の微分を取ると
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Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

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∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
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という関係が出ますね。
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