サンプル数が１とサンプル数が５を比較し、有意差を調べる検定方法

質問を見て頂きありがとうございます。

例えば、集団Ａと集団Ｂがあったとします。
集団Ａのサンプル数（ｎ）は１つで、値を仮に１０とします。
集団Ｂのサンプル数（ｎ）は５つで、値を仮に２、３、５、６、７とします。

この集団ＡとＢの間に有意差があるか調べることは可能でしょうか？
また、可能な場合にどのような検定方法があるでしょうか？
当方は、主にエクセルの分析ツールを使ってます。

ご教授御願いします。

No.7 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/28 01:19

お待たせしました。

＃６の式で間違いないようです。（＃４～６はなかったことにしてください。お恥ずかしい。。。）

片方の集団が１個のときのｔ検定
　集団Aの不偏分散を用いることができないため、集団Bの不偏分散だけでt値を計算することになります。以下は、ｔ分布の定義式から導いた結果です。

　集団Aのサンプルサイズ＝１
　集団Aのデータ値　　　a = 10
　集団Bのサンプルサイズｎ＝５
　集団Bの平均　　X=(X1+…+Xn)/ｎ=4.6
　　帰無仮説：「集団Bの平均＝a」
　　対立仮説：「集団Bの平均≠a」（両側検定）
　自由度　　　　　k=n-1 =4
　集団Bの不偏分散　V=((X1-X)^2+…+(Xn-X)^2)/(n-1) = 4.3
　t値　　　　　　T=(a-X)/√(V(1+1/n)) = 2.377
　有意水準　　　　α=0.05
　t分布の両側5%点　t(α=0.05, k=4) = 2.776
　
Excelでの計算例
　Bの平均=average(2,3,5,6,7)　　　　＝4.6
　不偏分散=var(2,3,5,6,7) 　　　　　＝4.3
　t値=(10-4.6)/sqrt(4.3*(1+1/5))　　＝2.377
　t分布の両側5%点=tinv(0.05,4)　　　＝2.776

結論
　|t値|<2.776なので、AとBに有意な差はない。

注意
ｔ検定は、次のことを前提にしていることにご注意ください。
（１）集団AとBが、ともに正規分布にしたがっていること。
（２）集団AとBの分散が等しいこと。
上記の条件に当てはまると考えてよいかどうかは、実際の現象に関する経験からご判断ください。
　分散が等しくない場合の検定はできません。Aのデータが１個だけの場合は、Aの分散に関する情報が得られないからです。

この回答へのお礼

gef00675様、おはようございます。
大変、丁寧な解説ありがとうございます。
このような遅くの時間までお時間を取らせてしまい、本来なら直接お礼を申し上げるべきなんでしょうが、メールで失礼します。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/11/28 05:43

No.6 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/27 21:00

ひえー、また間違えました。

正＞t値　　　　　　T=(a-X)/√(V(1+1/n)) = 2.37

（たよりない回答ですみません）
もういっぺん検算しますので、もう少しの間締め切らないでくださいね。

No.5 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/27 20:36

ごめんなさい。

tの式に間違いがありました。
誤＞t値　　　　　　T=(a-X)/√V = 2.60
正＞t値　　　　　　T=(a-X)/√(V/(1+1/n)) = 2.85

正＞|T|>2.78となったので、結論は「AとBに有意な差がある(p＜0.05)。」

大変失礼しました。

No.4 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/27 13:07

　Aのサンプルサイズが１のときは、集団Aに関する情報は一つの数aだけしかありません。

この場合は、
「分散が未知の集団Bの平均が定数aに等しいかどうか」
という仮説のｔ検定と、数学的に同じ扱いになると考えてください。（このことはｔ分布の定義からの直接の帰結ですが、詳細は略）

　ご質問の数値例で計算を試みますと、
集団Aのサンプルサイズ＝1
集団Bのサンプルサイズ　ｎ＝５
集団Aの値　　　a = 10
集団Bの平均　　X=(X1+…+Xn)/ｎ=4.6
集団Bの不偏分散　V=((X1-X)^2+…+(Xn-X))/(n-1) = 4.3
自由度　　　　　k=n-1 =4
t値　　　　　　T=(a-X)/√V = 2.60
有意水準　　　　α=0.05
t分布の両側5%点　t(α=0.05, k=4) = 2.78
以上から、|T|<2.78なので、結論は「AとBに有意な差はない(p≧0.05)。」となります。

Excelで計算するときは、
　平均はaverage関数
　不偏分散はvar関数
　t値は(10-4.6)/sqrt(4.3)
　t分布の両側5%点は、tinv(0.05,4)
などとして計算できます。サンプルサイズが１の場合はExcelの分析ツールは使えない
ようですね。

注意：ｔ検定は、次のことを前提にしています。
（１）集団AとBが、ともに正規分布にしたがっていること。
（２）集団AとBの分散が等しいこと。
上記の条件に当てはまると考えてよいかどうかは、実際の現象に関する経験からご判断ください。

No.3 回答者： gef00675 回答日時： 2008/11/27 05:09

集団Ａのサンプル数が１つというのは、単なる例なのでしょうか？

それとも、片方の集団のサンプルが１つしかない場合にどうすればよいかというご質問なのでしょうか？
片方のサンプルが１つの場合でも、他方のサンプルが複数あればｔ検定の方法がないわけではないので、もし、そういう場合の検定をしたいのであれば、補足でお知らせください。

この回答への補足

gef00675様、ご回答ありがとうございます。
後者「片方の集団のサンプルが１つしかない場合」の場合に当たります。
もし、ご存知でしたらご教授お願いいたします。

補足日時：2008/11/27 08:05

No.2 回答者： backs 回答日時： 2008/11/26 23:57

>　この集団ＡとＢの間に有意差があるか調べることは可能でしょうか？

計算はできるでしょう。しかし、それに意味があるかといえば多くの人は「無意味」というでしょう。

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> A <- c(10)
> B <- c(2, 3, 5, 6, 7)
> t.test(A, B)
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R-2.8.0では「以下にエラー t.test.default(A, B) : 観測値 'x' の個数が不十分です」というメッセージが出てきます（日本語の場合）。観測値が1つであるということは、実質的に平均値を計算することに意味がないので、そもそも検定すること自体（平均値を比較すること自体）に意味がないということからでしょう。

No.1 回答者： mame205 回答日時： 2008/11/26 21:59

有意差とは、集団が複数個から成り立つことを前提としています。

複数個で成り立つ集団AとBの値の平均値を比べ、その差が「意味のある差」なのか、「単なる偶然であり、意味があるとは言えない」のかを調べるのが統計学です。

２つの平均値を比べるということであればｔ検定がありますが、集団Ａのサンプル数が１つであれば、単純に集団Ｂの平均値と10を比べて、等しくなければ「差」があるというだけの話です。