ラグランジュの未定乗数法を具体的にわかりやすく教えて下さい。

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A 回答 (2件)

TeX表記をまぜて使います。



この方法は条件付きの極値問題を解決するのに使われます。

普通、関数f(x,y)の極値を求めるには、

f_x=0,f_y=0となる点A(a,b)を求め、
(a)Δ≡f_{xy}-f_{xx}f_{yy}<0であって、
(i) f_{xx}<0ならば、点Aで極大
(ii)f_{xx}>0ならば、点Aで極小
(b)Δ≡f_{xy}-f_{xx}f_{yy}>0ならば、点Aは極大でも極小でもない
(c)Δ≡f_{xy}-f_{xx}f_{yy}=0のときは、これだけでは判断しきれず、
何か別の方法によって調べなければならない。
f_{xx}はfの右下にxxという添字がついていると思ってください。
これはfをxで偏微分し、さらにそれをxで偏微分したものです。
他も同様。


という方法を使います。
しかし、極値を求める際、何か条件g(x,y)=0によってx,yが拘束されることが
しばしばあります。
例えば、確率論でp_1+p_2=1という条件の下で、
何かp_1,p_2の2変数関数fの極値を求めよ、という問題などです。
(情報理論に出てくるエントロピーの最大値問題が典型的な例)

このようなケースで、(a)から(c)に示した方法で単純に極値を求めると、
今度はその極値における点A(a,b)が条件g(x,y)=0を満たしているか
どうかが問題になり、一般には満たされないのです。
ならば、(a)(b)(c)で求めた極値の中で、g=0を満たすものだけを
選び出せばいいじゃないか、と思うかもしれませんが、
そうは問屋が下ろさない。
もしかしたら、(a)(b)(c)で求めた極値における点は、どれもg=0を
満たさないかもしれません。
それに、(a)(b)(c)に示した方法は、関数f(x,y)が定義できるようなx,yの領域Dの
中で、自由にx,yが動き回って、その状況下で極値はどうなるのかを求める
方法です。

しかし、g=0という条件があると、g(x,y)=0という条件に拘束されながら
x,yを動かさなければなりません。g(x,y)=0が成立しているかを常に心配しながら
x,yを動かすわけです。

まともに解こうとすると
「xを自由に動かしてみてg(x,y)=0からyを求めて極値はどうなるかうんぬん、、
あれあれ??わけわかんないぞ。」
という気持ちになり、精神状態が乱れてしまいます。

このような問題がラグランジュの未定乗数法によって解けるとは、素晴らしいことです。これを以下に示します。

関数f(x,y)が、条件g(x,y)=0の下で極値になるような変数x,yの値を決定するには、関数h(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)を導入し、連立方程式
hをxで偏微分したもの=0
hをyで偏微分したもの=0
を解けばよい。

詳しくは
岩波書店
理工系の数学入門コース1「微分積分」和達三樹著
第5章演習問題[10]を参照。
このシリーズは全8巻で、人間性豊かな文章に感動されられる本です。
僕はもう少しで8巻を読破しますが、
このシリーズは人生の大きな糧になりますよ。
絶対の自信をもって大推薦します。
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すでに


http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
に詳細な解説と例題があります

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=28887
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Qラグランジュ未定乗数法の問を教えてください。

f(x、y)=x^3+y^3
条件x^2+y^2=1
として、最大値最小値を求めよ。
 F(x,y,λ)=x^3+y^3+λ(x^2+y^2‐1)とする
 Fx=3x^2+2xλ
 Fy=3y^2+2yλ
 Fλ=x^2+y^2‐1 (※Fλはλ微分のこと)
として、λをこれ以降どのように変形し、求めればよいか分りません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

No2,No3です。

御免!
ANo3に図を添付するのを忘れました。
改めて添付します。

Qラグランジュの未定乗数法

いつも有り難く利用させていただいております。

今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm
のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している)

制約条件をG( x , y , z )=0 、( a , b , c )で、極致を求めたい関数をF(x , y , z )としておくと、

 このとき、G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F は

x , y の関数になるので、( a , b , c )において、

      F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0

が成り立つ。

 ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。

      G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0

そこで、( a , b , c )における -F_z/G_z の値を、λ とおくと、 F_z+λG_z=0 が成り立ち、

さらに、F_x+λG_x=0 、 F_y+λG_y=0 が成り立つ。

 したがって、4つの式 G=0 、F_x+λG_x=0 、F_y+λG_y=0 、F_z+λG_z=0 を解くことにより、極値を与える候補の点( a , b , c )が求められる。




と、記載されているのですが、
G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F はx , y の関数になるので、( a , b , c )において、
      F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
が成り立つ。
 ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。
      G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0

の部分の、
F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0
と、
G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0
の式はどのようにして出てきているのでしょうか?

いつも有り難く利用させていただいております。

今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm
のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している)

制約条件をG( x , y , z )=0 、( a , b , c )で、極致を求めたい関数をF(x , y , z )としておくと、

 このとき、G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとす...続きを読む

Aベストアンサー

そのサイトのノーテーションでは添え字が偏微分を意味しているようなので z_x = ∂z/∂x。

zをx,yの関数z=z(x,y)とするとF(x,y,z) = F( x, y, z(x,y) )なのでFをx,yの二変数関数F(x,y)として偏微分すると

(∂F(x,y)/∂x)_y = (∂F(x,y,z)/∂x)_yz + (∂F(x,y,z)/∂z)_xy・(∂z/∂x)_y = 0

このサイトのノーテーションに従って

∂F/∂x → F_x, ∂F/∂z → F_z, ∂z/∂x → z_x

と書き換えれば質問の式になります。

Qラグランジュの未定乗数法

x^2+y^2=1のときにx^3-x+y^2の最大、最小値を求めよという問題です。
ラグランジュの未定乗数法を用いて解こうとしているのですが、λ,x,yについて解が定めきれずに困っています。
つまり、x^2+y^2-1=0
3x^2-1-2λx=0
2y-2λy=0
の3式を解こうとしているのですが、うまくいきません。
ご指南宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

単に連立方程式を解けば良いだけではないですか?
3番目の式から
y=0またはλ=1が出てきますので
それぞれの場合について残りの変数を求めればいいでしょう。

y=0の時
x=±1,λ=±1(複合同順)

λ=1の時
3x^2-1-2x=(3x+1)(x-1)=0
x=1,-1/3
x=1の時y=0
x=-1/3の時y=±2√2/3

以上から連立方程式の解は
(x,y,λ)=(1,0,1),(-1,0,-1),(-1/3,2√2/3,1),(-1/3,-2√2/3,1)
と4通りの解がでます。
それぞれについての極値は
f(1,0)=0
f(-1,0)=0
f(-1/3,2√2/3)=32/27
f(-1/3,-2√2/3)=32/27
なので
0<=f(x,y)<=32/27
x=±1,y=0の時最小値0
x=-1/3,y=±2√2/3の時最大値32/27

Qラグランジュの未定乗数法を用いた最大、最小値問題について質問です

問: x^2-x*y+y^2 = 1 という制約条件の下で x*y+x+y が最大と最小をとることを示し、
Lagrangeの未定乗数法によってそれらの値を求めよ


答:最大値は (x,y) = (1,1) のとき 3

最小値は (x,y) = ( (1/12)*(-9+√21), (1/12)*(-9-√21) ) のとき -13/12


f<x>-λg<x> = 0 ,f<y>-λg<y> = 0 より

(y+1)-λ(2x-y) = 0 ,(x+1)-λ(-x+2y) = 0

∴λ=(y+1)/(2x-y) = (x+1)/(-x+2y)

∴(y+1)(-x+2y) = (x+1)(2x-y)

∴2x^2-2y^2+3x-3y = 0

∴(x-y)(2(x+y)+3) = 0

∴x = y or 2(x+y)+3 = 0

これらを g = 0 に代入して

x^2 = 1 , 12x^2+18x+5 = 0



として最大と最小をとる点の候補を求めてから値を求めたのですが、
てっとりばやく最大値、最小値だけを求めるにはどうすればいいのでしょうか?
よろしくおねがいします。

問: x^2-x*y+y^2 = 1 という制約条件の下で x*y+x+y が最大と最小をとることを示し、
Lagrangeの未定乗数法によってそれらの値を求めよ


答:最大値は (x,y) = (1,1) のとき 3

最小値は (x,y) = ( (1/12)*(-9+√21), (1/12)*(-9-√21) ) のとき -13/12


f<x>-λg<x> = 0 ,f<y>-λg<y> = 0 より

(y+1)-λ(2x-y) = 0 ,(x+1)-λ(-x+2y) = 0

∴λ=(y+1)/(2x-y) = (x+1)/(-x+2y)

∴(y+1)(-x+2y) = (x+1)(2x-y)

∴2x^2-2y^2+3x-3y = 0

∴(x-y)(2(x+y)+3) = 0

∴x = y or 2(x+y)+3 = 0

...続きを読む

Aベストアンサー

>とやってたりするので、同じようにできないものかとおもいまして、、、

出来ないんじゃないか?

以下は高校数学。。。。。。w

x+y=a、x-y=bとすると、2x=a+b、2y=a-b であるから、x^2+x*y+y^2=(3a^2+b^2)/4=1 であるから、3a^2+b^2=4.‥‥(1)
k= x^2-y^2 =ab より、判別式を使っても良いが、(1)から a=(2/√3)cosθ、b=2sinθと置けるから、k= x^2-y^2 =ab=(4/√3)cosθ*sinθ=(2/√3)*sin2θ。
|sin2θ|≦1より、|k|≦2/√3。 等号成立の時の、(x、y)の値は自分で求めて。

Qラグランジュの未定乗数法を利用する3次元の極値問題

下の問題の解き方を教えてください
よろしくお願いします


半径Rの球面上の2点A,Bを両端とする曲面のうち長さが最短となるものを求めよ
ただし、計算は直交座標(デカルト座標)を用い、
x^2+y^2+z^2=R^2
を束縛条件としてラグランジュの未定乗数法を利用すること

Aベストアンサー

http://www2.kaiyodai.ac.jp/~takenawa/optimization/resume10-4.pdf


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