星形多角形の内角の和

星形5角形とは、凸5角形の頂点を、2つ先の点を結んでできる形とします。
それを、(5,2)角形と呼ぶことにします。
その内角の和は180度になります。

でも、一般に(n,k)角形の内角の和がわかりません。
外角を考えればよさそうなのですが。

No.6 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/12/01 15:47

#1です。

http://www.shinko-keirin.co.jp/j-kadaimath/9804/ …
このURLに
「Ｘ点とばしの星形ｎ角形の頂角の和は，180゜×｛ｎ－(２Ｘ＋２)｝で求められる。」
と載っています。式の導出の考え方の詳細も載っています。
質問者さんの頂点の飛ばしの数え方が１つずれていますので
X=k-1にあたりますのでkで書き直せば
星形ｎ角形（n,k)の頂角の和は，
180゜×｛ｎ－(２Ｘ＋２)＝180゜×(ｎ－２k)
となりますね。

参考URL：http://www.shinko-keirin.co.jp/j-kadaimath/9804/ …

No.5 回答者： boobee0125 回答日時： 2008/12/01 11:31

またまた#2です。

チョイト見逃していましたがnとkが互いに素である場合には#3の方の回答が正解だと思います。

No.4 回答者： boobee0125 回答日時： 2008/12/01 11:12

#2 です。

すみません、もとの多角形を正多角形だと勘違いしてました。一般の多角形の場合の求め方はちょいと思いつきません。また nとkが互いに素でないケースは考えていませんでした。

> nとkが互いに素でないときは、それらを約分してから、代入する形になるのでしょうか？

結果的にはそうなりますね。例えば(16,6)角形は(8,3)角形と同じですから、内角の和を求める時はnとkが互いに素である場合のみを考えれば良いかと思います。

No.3 回答者： colder 回答日時： 2008/12/01 01:50

内部の点をPとし、すべての頂点とPを結ぶと三角形がn個できます。

P点の角の和 = k*360°
内角の和 = すべての三角形の内角の和-P点の角の和
= (n-2k)*180°

No.2 回答者： boobee0125 回答日時： 2008/11/30 22:23

>一般に(n,k)角形の内角の和がわかりません。

多角形に外接する円の円周角を使えば簡単に出ます。(n,k)角形の一つの内角は元の多角形の n - 2k 個の辺を含む円周の円周角です。円周角は中心角の半分なので

内角 = (2π/n)*(n - 2k)/2 = π*(n - 2k)/n

となります。これより

内角の和 = 内角*n = π*(n - 2k)

となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
nとkが互いに素でないときは、それらを約分してから、代入する形になるのでしょうか？

また、n点が正多角形になっている場合のその証明を、一般の凸多角形の場合にも成り立つことを言うにはどうしたらよいのでしょうか？

重ねての質問ですみません。

お礼日時：2008/12/01 00:14

No.1 回答者： info22 回答日時： 2008/11/30 22:00

(n,2)角形の場合は

内角の和=(n-4)*180°
となります。

各辺にボールペンを乗せて頂点を中心に順に回転して行った時、
全ての辺に重なりながら元の辺の上に重なるまでに、
ボールペンが回転した角度が内角の和になります。
nが偶数の場合は、２つに図形が分かれますので、１つの図形が完了した時点で、そのままボールペンをもう１つの図形の頂点に平行移動してから、続きの回転を続けて行きます。全ての辺が終わった所までのボールペンの回転角から内角の和が求まります。

m=2以外の(n,m)角形の場合も同じ手法でできると思いますのでやってみて下さい。